Тема 1

Введение в предмет

Лекция 1.1.

Математика, ее история, основные элементы и методы

Время 2 часа

План

1. Предмет, задачи и содержание курса «Математика».

2. История развития математики, ее основные этапы.

3. Развитие понятия числа. Комплексные числа.

1. Предмет, задачи и содержание курса «Математика»

Современную математику нередко сравнивают с большим городом, в котором постоянно происходят изменения: строятся новые здания, перестраиваются старые, проводятся дороги и новые улицы. Дороги связывают это город с другими городами. И в математике постоянно возникают новые области исследований, строятся новые теории, доказываются новые теоремы. Но не только новое создается, но изменяется старое и устанавливаются связи между разными областями математического знания.

«Что такое математика? Каков предмет ее исследования?»

Ответы будут зависеть от уровня математических знаний. Например,

Категория людей	Ответы
Школьник начального звена	Математика изучает правила счета предметов.
Школьник среднего звена	Математика изучает правила счета предметов, геометрические объекты.
Школьник старшего звена	Математика изучает правила счета предметов, геометрические объекты, функцию, операции дифференцирования и интегрирования.
Выпускники Вузов	Математика изучает правила счета предметов, геометрические объекты, функцию, операции дифференцирования и интегрирования. В состав математики входят теория вероятностей и математическая статистика, дифференциальные уравнения, операционное исчисление, теория множеств, теория массового обслуживания и др.

«Математика подобна башне, фундамент которой был заложен много веков назад и в которой всё ещё достраивается верхний этаж. Чтобы оценить общий ход строительства, надо подняться на самый верхний этаж по очень крутой лестнице с множеством ступеней. Роль популяризатора состоит в том, чтобы втащить слушателя в лифт и довезти к вершине, откуда он не увидит ни промежуточных этажей, ни веками украшавшихся комнат, но сможет убедиться, что здание очень высокое и продолжает расти» -писал Г. Штейнгауз в книге «Математика — посредник между духом и материей».

По выражению Рене Декарта (1596-1650) -математика является, «наукой вообще»: « Все науки, имеющие дело с познанием природы, порядка и меры, относятся к математике: все равно, будут искать этой меры в числах, фигурах, созвездиях, тонах или иных объектах, поэтому должна быть универсальная наука, развивающая все относящееся к порядку и мере; науке этой имя- математика, т.е. наука вообще, ибо все науки относятся к ней, как частное к целому».

Подавляющим большинством математиков принято представление о предмете математики, данное Ф. Энгельсом: «Чистая математика имеет своим объектом пространственные формы и количественные отношения действительного мира, стало быть — весьма реальный материал».

Математика (греч. μάθημα «матема»— знание, наука) — наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира.

В основе построения математической теории лежит аксиоматический метод-способ построения научной теории, при котором в её основу кладутся некоторые исходные положения (суждения) —аксиомы (постулаты), из которых все остальные утверждения этой науки должны выводиться чисто логическим путём, посредством доказательств. Различные авторы выдвигали различные требования к постулатам и аксиомам: так, Аристотель считал характерным свойством аксиом общепризнанность, Декарт – очевидность, Паскаль – недоказуемость. Примером применения аксиоматического подхода к геометрии являются аксиомы Евклида.

Основным методом в математических исследованиях являются математические доказательства. Доказательством называется цепочка логических умозаключений, показывающая, что при каком-то наборе аксиом и правил вывода верно некоторое утверждение.

В математике используются два вида умозаключений дедукция и индукция. Умозаключение — логическая операция, в результате которой из одного или нескольких принятых утверждений (посылок) получается новое утверждение — заключение (вывод, следствие). Дедукция (лат. deductio — выведение) — метод мышления, при котором частное положение логическим путем выводится из общего по правилам логики. Началом (посылками) дедукции являются аксиомы (постулаты) или просто гипотезы, имеющие характер общих утверждений («общее»), а концом — следствия из посылок, теоремы («частное»). Если посылки дедукции истинны, то истинны и ее следствия. Дедукция — основное средство доказательства. Индукция (лат. inductio — наведение) — процесс логического вывода на основе перехода от частного положения к общему. Индуктивное умозаключение связывает частные предпосылки с заключением не столько через законы логики, а через некоторые фактические, психологические или математические представления. Индукция дает только вероятные, или правдоподобные, заключения, нуждающиеся в дальнейшей проверке.

Математика –это язык науки. Цифры, числа, формулы, уравнения используются практически во всех науках. Математика хорошо приспособленна для количественной обработки любой научной информации. Более того, во многих случаях математический формализм оказывается единственно возможным способом выразить физические характеристики явлений и процессов, поскольку их естественные свойства и особенно отношения непосредственно не наблюдаемы. Скажем, каким образом в физических терминах описать тяготение, эффекты электромагнетизма и т.п.? Их можно представить только математически как определенные числовые соотношения в законах, фиксируемых количественными показателями. Современная наука лишь прибавили абстрактности теоретическим объектам, вполне лишая их наглядности. Только и остается апеллировать к математике. Заявил же однажды Л. Ландау, что современному физику вовсе не обязательно знать физику, ему достаточно знать математику. Это и выдвигает математику на роль языка науки. Пожалуй, впервые отчетливо это прозвучало у Г. Галилея, одного из решающих персонажей в создании математического естествознания, господствующего вот уже более трехсот лет. Галилей писал: "Философия написана в величественной книге (я имею в виду Вселенную), которая постоянно открыта нашему взору, но понять ее может лишь тот, который сначала научился постигать ее язык и толковать знаки, которыми она написана. Написана же она на языке математики".

Математика реализует мировоззренческие, воспитательные, культурные и эстетические функции.

Мировоззренческая роль математики состоит, в том, что она помогает вникать в суть явлений, происходящих в окружающем нас мире, выявлять, описывать и исследовать как внешние, так и внутренние связи системы.

Воспитательная роль математики состоит в том, что ее изучение вырабатывает исследовательский, творческий подход к делу; настойчивость, терпение и трудолюбие; аккуратность; логичность и строгость суждений; умение выделять главное и игнорировать второстепенное, не влияющее на суть проблемы; умение ставить новые задачи и др. «Математика полезна тем, что она трудна».

Культурная роль математики состоит в том, что повышение общематематической культуры естественным образом, в соответствии с функциями математики, содействует повышению и профессиональной и общей культуры (мышления, поведения, выбора).

Эстетическая роль математики (эстетика - наука о прекрасном) состоит, в частности, в том, что она сводит разрозненные элементы и связи системы в целостную композицию, обладающую эстетическими качествами (красота, обаяние, цвет, форма, пропорция, симметрия, гармония, единство частей целого, удовольствие и др.).