Влияние параметров a и на форму и расположение нормальной кривой
Параметр a=M(X) характеризует положение кривой на оси Ox. Если изменять величину a , то нормальная кривая будет смещаться вдоль оси x, не меняя своей формы (если a>0, то сдвиг вправо на a единиц)
Параметр =(x)характеризует форму нормальной кривой.
При увеличении максимальная ордината уменьшается, а при уменьшении - увеличивается. Площадь, ограниченная кривой распределения f(x) и осью Ox всегда равна 1, значит, при увеличении нормальная кривая становится более плоской, растягиваясь вдоль оси x, а при уменьшении нормальная кривая вытягивается вверх, одновременно сжимаясь с боков.
П
ример.
|
max |
точки перегиба |
|
|
(4; 0,8) |
(4,5; 0,48) |
(3,5; 0,48) |
1 |
(4; 0,4) |
(5; 0,24) |
(3; 0,24) |
2 |
(4; 0,2) |
(6; 0,12) |
(2; 0,12) |
Вероятность попадания в заданный интервал нормально распределенной случайной величины.
Ранее было доказано, что вероятность того, что случайная величина X примет значение, принадлежащее интервалу (; ) равна
Пусть X – нормально распределенная случайная величина, тогда
Заменяем
где
– функция Лапласа (прилож. №2)
–
вероятность попадания нормально
распределенной случайной величины в
интервал (;
).
Вероятность заданного отклонения
Вычислим вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины X от математического ожидания по абсолютной величине меньше заданного положительного числа .
Правило трех сигм
Преобразуем формулу
.
Заменим
Тогда
Если t=3, то
Итак, вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины X от математического ожидания a по абсолютной величине будет меньше утроенного среднего квадратического отклонения равна 0,9973. Вероятность того, что абсолютная величина отклонения превысит 3 очень мала и равна 0,0027, такие события можно считать практически невозможными.
Вывод. Если случайная величина X распределена нормально, то абсолютная величина ее отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения.
§22. Закон равномерной плотности. (Равномерное распределение) Определение, плотность распределения
Распределение вероятностей называют равномерным, если на интервале, которому принадлежат все возможные значения непрерывной случайной величины, плотность распределения имеет постоянное значение.
Пример:
Поезда метрополитена идут с интервалом 2 минуты. Пассажир выходит на платформу в некоторый момент времени. Время T , в течение которого пассажиру придется ждать поезда, есть случайная величина, распределенная с равномерной плотностью на участке (0; 2) мин.
Пусть X – имеет равномерное распределение, возможные значения принадлежат (a; b).
По определению
;
Найдем c.
Итак,
Функция распределения
Найдем F(x).
Числовые характеристики
Найдем M(X).
