1. Визначення рангу матриці за допомогою звичайних жорданових виключень

Хай дана прямокутна матриця А, яка складається з m-рядків і n-стовпців.

Складемо систему з m рівнянь, для яких коефіцієнтами при вільних змінних будуть елементи матриці А

Перепишемо цю систему в жорданову таблицю і виконаємо максимальне число кроків звичайних жорданових виключень, замінюючи залежні змінні на незалежні. Ранг матриці рівний числу максимально можливих послідовних кроків жорданових виключень (к), виконаних над жордановою таблицею, причому кожен стовпець і кожен рядок може бути вибраний не більше одного разу.

Залежні змінні уi (і = до + l,m), які не переміщаються у верхній рядок таблиці, лінійно виражаються через змінні yj (j=1, до), переміщені у верхній рядок таблиці, тобто

yi = ai1 + ... + aikyk (i = до +1,m).

Теорема: Ранг добутку двох матриць не може перевищувати найменший з рангів цих матриць.

rang ([А][В]) Н min { rang [A], rang [В] }

2. Знаходження зворотної матриці за допомогою звичайних жордановых виключень.

Розглянемо не вироджену матрицю n-го порядку.

Для знаходження зворотної матриці складемо систему лінійних рівнянь, в якій роль вільних членів виконують залежні змінні

оскільки

Запишемо цю систему в таблицю:

	Y1	Y2 У2	...	yn
x1	a11	a12	...	a1n
x2	a21	a22	...	a2n
xn	an1	an2	...	an3

Послідовно над таблицею здійсним n кроків звичайних жорданових виключень. В якості ключових елементів бажано брати діагональні елементи. Дозволяють використовувати не тільки діагональні елементи, то після завершення обернена матриці необхідно упорядкувати рядки і стовпці.

III. Вирішення системи лінійних рівнянь алгебри методом звичайних жорданових виключень.

Розглянемо систему n лінійних рівнянь з n невідомими:

Причому rang (A)=n,

А - матриця системи;

С – розширена матриця, тобто матриця А з приєднаним справа стовпцем вільних членів.

Перепишемо систему у вигляді:

Запишемо систему в табличній формі:

	x1	x2 У2	…	xn	1
y1	a11	a12	…	a1n	-b1
y2	a21	a22	…	a2n	-b2
yn	an1	an2	…	an3	-bn

Після n послідовних кроків звичайних жордановых виключень отримаємо таблицю з вирішенням системи лінійних рівнянь алгебри:

	У1	У2	…	Уn	1
Х1	a11	a12	…	а 1n	1
Х2	a12	a22	…	a2n	2
Xn	an2	an2	…	an3	n

Оскільки уi = 0 (i = 1,n), рішення запишемо у вигляді:

х1 = в1, х2 = в2 ., хn = вn

Решта коефіцієнтів таблиці складає зворотну матрицю. Якщо при знаходженні вирішень системи рівнянь не ставиться завдання знаходження зворотної матриці, то після кожного кроку звичайних жордановых виключень вирішуючий стовпець викреслюється і після n кроків таблиця приймає вигляд:

Хj=1
ХІ	1
Х2	2
…	…
Хn	n

Робота з масивами в Excel

Масив - це набір значень. Масив може бути заданий як інтервал комірок або як масив констант. Наприклад: {1; 2; 3: 4; 5; 6:, або як ім'я, що іменує інтервал або масив: 7; 8: 9).

Масив констант може складатися з чисел, тексту, логічних значень (наприклад Істина або Хибність) або значень помилок. Числа в масиві можуть бути цілими, з десятковою крапкою або експоненціальними. Масив констант може складатися з елементів різного типу, наприклад {1; 3, 4; Істина, Брехня, Істина}. Елементи масиву повинні бути константами, але не формулами. Масив констант не може містити знаки долара ($), круглих дужок і відсотки (%). Масив констант вводиться в один осередок. Щоб створити масив констант, необхідно:

• весь масив помістити в фігурні дужки ({ });

• значення стовпців розділяються комами (,);

• значення рядків розділяється крапками з комою (;).

Наприклад, замість введення чотирьох чисел (10, 20, 30, 40) в окремі комірки їх можна ввести в масив, в одну комірку у фігурних дужках {10, 20, 30, 40}, Такий масив констант є матрицею розмірності 1 на 4. Щоб представити значення "10, 20, 30, 40" і "50, 60, 70, 80", що знаходяться в розташованих одною під одною комірками можна створити масив констант розмірністю 2 на 4, причому рядки будуть відокремлені один від одного крапкою з комою, а значення в стовпцях - комами.

{10, 20, 30, 40; 50, 60, 70, 80}

Формула масиву може виконати декілька обчислень, а потім повернути одне значення або групу значень. Формула масиву створюється також, як і проста формула, і впливає на декілька наборів значень. Формула масиву створюється також, як і проста формула, і впливає на декілька наборів значень. Для введення формули масиву необхідно:

I спосіб: виділити комірку або групу комірок, в яких необхідно створити формулу; ввести формулу, а потім натиснути комбінацію кнопок Ctrl-Shift-Enter.

II спосіб: виділити одну комірку, куди потрібно ввести формулу; ввести формулу; розповсюдити введену формулу на потрібну кількість комірок (стовпців і рядків), потім натиснути комбінацію клавіш F2 і Ctrl-Shift-Enter.

Функції, використовувані для роботи з матрицями.

МОПРЕД (масив) - обчислює визначника матриці (матриця зберігається в масиві).

Функція МОПРЕД повертає значення помилки #ЗНАЧ!, якщо яка-небудь комірка в масиві порожня або містить текст, або масив має нерівну кількість рядків і стовпців.

МОБР (масив) - повертає обернену матрицю для матриці, що зберігається в масиві. Помилки аналогічні, як у функції МОПРЕД().

МУМНОЖ (массив1, массив2) - обчислює добуток матриць. Результатом є масив з таким же числом рядків, як масив1 і з таким же числом стовпців, як масив2. Кількість стовпців аргументу масив1 повинно бути таким же, як кількість рядків аргументу массив2 і обидва масиви повинні містити числа. Масив1 і массив2 можуть бути задані як інтервали, масиви констант або посилання.

Суммкв (число1, число2) - повертає суму квадратів Суммкв (3;4 ) = 25.

Суммразнкв (масив х, масив у) - повертає суму різниці квадратів, відповідних значень в двох масивів ( Н(х² –у² )).

Суммсуммкв ( масив X, масив у) - повертає суму сум квадратів відповідних елементів двох масивів ( Н(х² + у² )).

СУММПРОИЗВ (масив1, масив2, масивЗ) - перемножує відповідні елементи заданих масивів і повертає суму добутків.