Тема 12. Організація статистичного моделювання систем на еом. Загальна характеристика методу статистичного моделювання систем.

На етапі дослідження і проектування систем при побудові і реалізації машинних моделей (аналітичних і імітаційних) широко використовується метод статистичних випробувань (Монте-Карло), який базується на використанні випадкових чисел, тобто можливих значень деякої випадкової величини із заданим розподілом вірогідності. Статистичне моделювання являє собою метод отримання за допомогою ЕОМ статистичних даних про процеси, що відбуваються в системі, що моделюється. Для отримання необхідних оцінок характеристик системи S з урахуванням дій зовнішнього середовища Е статистичні дані оброблюються і класифікуються з використанням методів математичної статистики.

Таким чином, суть методу статистичного моделювання зводиться до побудови для процесу функціонування досліджуваної системи S деякого моделюючого алгоритму, що імітує поведінку і взаємодію елементів системи з урахуванням випадкових вхідних дій і дій зовнішнього середовища Е, і реалізації цього алгоритму з використанням програмно-технічних засобів ЕОМ.

Розрізняють дві області застосування методу статистичного моделювання: 1) для вивчення стохастичних систем; 2) для вирішення детермінованих задач. Основною ідеєю, яка використовується для вирішення детермінованих задач методом статистичного моделювання, є заміна детермінованої задачі еквівалентною схемою деякої стохастичної системи, вихідні характеристики останньої співпадають з результатом рішення детермінованої задачі. Природньо, що при такій заміні замість точного рішення задачі виходить наближене розв'язання і похибка зменшується із збільшенням числа випробувань (реалізацій моделюючого алгоритму) N.

В результаті статистичного моделювання системи S виходить серія окремих значень шуканих величин або функцій, статистична обробка яких дозволяє отримати відомості про поведінку реального об'єкта або процесу в довільні моменти часу. Якщо кількість реалізацій N достатньо велика, то отримані результати моделювання системи набувають статистичну стійкість і з достатньою точністю можуть бути ухвалені як оцінки шуканих характеристик процесу функціонування системи S.

Теоретичною основою методу статистичного моделювання систем на ЕОМ являються граничні теореми теорії ймовірності. Більшість випадкових явищ (подій, величин) підкоряються визначеним закономірностям, дозволяючи не тільки прогнозувати їх поведінку, а також кількісно оцінювати деякі середні їхні характеристики, які проявляють певну стійкість. Характерні закономірності спостерігаються в розподілах випадкових величин, які утворюються при складанні дій. Виразом цих закономірностей і стійкості середніх показників є так звані граничні теореми теорії ймовірності: частина їх приводиться нижче в придатній для практичного використання при статистичному моделюванні формулюванні. Принципове значення граничних теорем полягає в тому, що вони гарантують високу якість статистичних оцінок при вельми великому числі випробувань (реалізацій) N. Практично прийнятні при статистичному моделюванні кількісні оцінки характеристик систем часто можуть бути отримані вже при порівняно невеликих (при використанні ЕОМ) N.

Нерівність Чебишева. Для ненегативної функції g( ) випадкової величини і будь-якого К>0 виконується нерівність

Р{ g( ) K <M[g( )]/K.

Зокрема, якщо g( )= і K= (де — середнє арифметичне; — середнє квадратичне відхилення), то

Теорема Бернулі. Якщо проводиться N незалежних випробувань, в кожному з яких деяка подія А здійснюється з вірогідністю р, то відносна частота появи події m/N при N сходиться по вірогідності до р, тобто при будь-якому >0

Теорема Пуасона. Якщо проводиться N незалежних випробувань і вірогідність здійснення події А в i-му випробуванні рівна р, то відносна частота появи події m/N при N сходиться по вірогідності до середнього з вірогідності p, тобто при будь-якому >0

Теорема Чебишева. Якщо в N незалежних випробуваннях спостерігаються значення випадкової величини , то при N середнє арифметичне значень випадкової величини сходиться по вірогідності до її математичного очікування а, тобто при будь-якому >0

Узагальнена теорема Чебишева. Якщо ₁ ,...., незалежні випадкові величини з математичними очікуваннями ,..., і дисперсіями ,..., обмеженими зверху одним і тим же числом, то при N середнє арифметичне значень випадкової величини сходиться по вірогідності до середнього арифметичному їхніх математичних очікувань

Теорема Маркова. Вираз справедливий і для залежних випадкових величин ₁,...., якщо тільки

Сукупність теорем, що встановлюють стійкість середніх показників прийнято називати законом великих чисел.

Центральна гранична теорема. Якщо ₁ ,...., — незалежні однаково розподілені випадкові величини, що мають математичне сподівання а і дисперсію , то при N закон розподілу суми необмежена наближається до нормального.

Теорема Лапласа. Якщо в кожному з N незалежних випробувань подія А з'являється з вірогідністю p, то

де m — число появ події А в N випробуваннях. Теорема Лапласа є окремим випадком центральної граничної теореми.

Статистичне моделювання систем на ЕОМ вимагає формування значень випадкових величин, що реалізується з допомогою датчиків (генераторів) випадкових чисел.

Таким чином, підхід при використанні статистичного моделювання незалежно від природи об'єкта дослідження (буде чи він детермінованим або стохастичним) є загальним. Причому при статистичному моделюванні детермінованих систем необхідно заздалегідь побудувати стохастичну систему, вихідні характеристики, якої дозволяють оцінити шукані.

Відзначимо, що у всіх розглянутих прикладах не вимагається запам'ятовування всієї множини випадкових чисел, що генеруються та використовуються при статистичному моделюванні системи S. Запам'ятовується тільки накопичена сума виходів і загальне число реалізацій. Ця важлива обставина взагалі є характерною при реалізації імітаційних моделей методом статистичного моделювання на ЕОМ.

Контрольні питання

1. В чому полягає метод статистичного моделювання?

2. Що є теоретичною основою методу статистичного моделювання?

3. В чому особливість граничних теорем теорії ймовірності?

4. Сформулюйте теорему Чебишева.

5. Сформулюйте теорему Бернулі.

6. Сформулюйте теорему Лапласа.

7. Сформулюйте теорему Пуасона.

8. Сформулюйте теорему Маркова.

9. Сформулюйте центральну граничну теорему.

10. Яким чином реалізуються імітаційні моделі?

[6,c.147-149; 7,c.117-140]