- •4.7.2 Формула Пуассона.
- •4.7.3 Формулы Муавра-Лапласа.
- •4.7.4 Применение приближенных формул Пуассона и Муавра-Лапласа.
- •4.8 Случайные величины
- •4.9 Дискретные случайные величины
- •4.10 Функция распределения случайной величины. Плотность распределения непрерывной случайной величины.
- •4.11 Числовые характеристики случайной величины
- •4.12. Законы распределения дискретной случайной велисины
- •Биномиальное распределение
- •Распределение Пуассона
- •Простейший поток событий
- •Геометрическое распределение
- •Гипергеометрическое распределение
- •4.13 Законы распределения непрерывной случайной величины Равномерное распределение.
- •Нормальное распределение
- •Правило трех сигм.
4.10 Функция распределения случайной величины. Плотность распределения непрерывной случайной величины.
Наиболее удобным способом задания закона распределения случайной величины (дискретной и непрерывной) является аналитический способ. В этом случае соответствие между значениями случайной величины и их вероятностями задается некоторой функцией . Эта функция называется функцией распределения случайной величины.
Определение 18: Функцией распределения (интегральной функцией распределения) случайной величины называется вероятность того, что она примет значение меньшее, чем заданное : .
Геометрический смысл: есть вероятность того, что случайная величина примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки , т.е. случайная величина попадет в интервал
Свойства функции распределения:
1° ;
2° , если (т. е. функция − функция неубывающая);
3° Пусть и . Так как событие является невозможным, а событие − достоверным, то , ;
4° вероятность попадания случайной величины в промежуток
Важнейшей характеристикой непрерывной случайной величины является плотность распределения вероятностей.
Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины называется производная ее функции распределения, т. е. . Функцию называют также дифференциальной функцией распределения.
Свойства:
неотрицательная, т.е. .
Вероятность попадания непрерывной случайной величины в промежуток равна определенному интегралу от ее плотности в пределах от до , т.е.
Функция распределения непрерывной случайной величины может быть выражена через плотность вероятности по формуле
Условие нормировки: несобственный интеграл от плотности вероятности непрерывной случайной величины в бесконечных пределах равен единице, т.е.
4.11 Числовые характеристики случайной величины
Определение 19. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех возможных значений на их вероятности:
|
(25) |
или
|
(26) |
Ряд, стоящий в правой части (26) является сходящимся.
Определение 20. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины называется интеграл
|
(27) |
Интеграл в правой части (27) предполагается абсолютно сходящимся.
Свойства математического ожидания:
1° ;
2° ;
3° Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: ;
4° Математическое ожидание отклонения случайной величины от ее математического ожидания равно нулю, т.е. .
5° .
Пример: В лотерее имеется 1000 билетов, из них выигрышных: 10 по 500 руб., 50 по 50 руб., 100 по 10 руб., 150 по 1 руб. Найти математическое ожидание выигрыша на один билет.
Решение: Ряд распределения случайной величины суммы выигрыша на один билет таков:
-
X
500
50
10
1
0
P
0,01
0,05
0,1
0,15
0,69
Находим: руб.
Определение 21. Пусть − случайная величина и − ее математическое ожидание. Отклонением случайной величины от ее математического ожидания называют разность между случайной величиной и ее математическим ожиданием.
Теорема 6. Математическое ожидание отклонения равно нулю.
Определение 22. Дисперсией (рассеянием) дискретной случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:
|
(28) |
Теорема 7. Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины и квадратом ее математического ожидания:
|
(29) |
Для непрерывной случайной величины дисперсия определяется по формуле
(30)
Свойства дисперсии:
1° ;
2° ;
3° Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин: ;
4° .
Формулы (28), (29) можно переписать в виде, удобном для расчетов:
Определение 23. Средним квадратическим отклонением дискретной случайной величины называют корень квадратный из дисперсии:
|
(30) |
Пример: Дискретная случайная величина задана рядом распределения
-
X
-1
0
1
2
P
0,2
0,1
0,3
0,4