Гипергеометрическое распределение

Пусть в партии из изделий имеется стандартных. Из партии случайно отбирают изделий (каждое из которых может быть извлечено с одинаковой вероятностью). Обозначим через случайную величину – число стандартных изделий среди отобранных. Очевидно, что случайная величина может принимать значения 0,1, …, .

Для того, чтобы найти вероятность того, что случайная величина , используем классическое определение вероятности. Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию , к числу всех элементарных исходов , т. е.

.

(33)

Гипергеометрическое распределение имеет вид

			2	…		…
				…		…	или

4.13 Законы распределения непрерывной случайной величины Равномерное распределение.

Равномерно распределенная на отрезке случайная величина имеет плотность распределения

(34)

Функция распределения имеет вид

(35)

Экспоненциальное распределение.

Случайная величина подчиняется экспоненциальному (показательному) закону, если она имеет плотность распределения

(32)

где − параметр экспоненциального распределения.

Функция распределения имеет вид

(33)

Нормальное распределение

_{Нормальный закон («закон Гаусса») является предельным законом, т.е. к нему приближаются, при определенных условиях, другие законы распределения. Нормальный закон наиболее часто встречается на практике.}

Нормальный закон распределения характеризуется плотностью распределения вероятностей вида:

(34)

Нормальное распределение определяется двумя параметрами: и . Вероятностный смысл этих параметров следующий: равно математическому ожиданию, − среднему квадратическому отклонению нормального распределения. Если и , то нормальное распределение называют нормированным (стандартным) и плотность нормированного распределения имеет вид

(35)

График плотности нормального распределения называют нормальной кривой (кривой Гаусса). Исследуем функцию

1. Область определения: при любом , график расположен выше оси ;

2. Асимптоты. Ось служит асимптотой графика функции , так как ;

3. Экстремумы, интервалы возрастания и убывания: функция имеет один максимум при , равный Действительно, . Отсюда при , при этом, если , то , а если , то . Отсюда точка максимума и .

4. Точки перегиба, интервалы выпуклости и вогнутости: точки и являются точками перегиба графика функции .

5. График.

При и нормальную кривую называют нормированной.

Функция нормального распределения имеет вид

(36)

Функция нормированного распределения имеет вид

(37)

Значения функции вычисляются с помощью функции :

(38)

Функцию можно выразить через функцию Лапласа

(39)

Функция нормального распределения также выражается через функцию Лапласа:

(40)

Вероятность попадания в интервал нормальной случайной величины равна

(41)

Вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины от математического ожидания по абсолютной величине меньше заданного положительного числа равна

(42)