- •4.7.2 Формула Пуассона.
- •4.7.3 Формулы Муавра-Лапласа.
- •4.7.4 Применение приближенных формул Пуассона и Муавра-Лапласа.
- •4.8 Случайные величины
- •4.9 Дискретные случайные величины
- •4.10 Функция распределения случайной величины. Плотность распределения непрерывной случайной величины.
- •4.11 Числовые характеристики случайной величины
- •4.12. Законы распределения дискретной случайной велисины
- •Биномиальное распределение
- •Распределение Пуассона
- •Простейший поток событий
- •Геометрическое распределение
- •Гипергеометрическое распределение
- •4.13 Законы распределения непрерывной случайной величины Равномерное распределение.
- •Нормальное распределение
- •Правило трех сигм.
4.12. Законы распределения дискретной случайной велисины
Законы распределения случайной величины:
для дискретной случайной величины: биномиальный (схема Бернулли), распределение Пуассона (формула Пуассона), геометрическое - вероятности образуют геометрическую прогрессию; гипергеометрическое распределение
для непрерывной случайной величины: равномерный (плотность вероятности непрерывной постоянна на отрезке , а вне его равна нулю), показательный , нормальный.
Биномиальное распределение
Пусть производится независимых испытаний, в каждом из которых событие может появится или не появиться. Вероятность наступления события во всех испытаниях постоянна и равна (следовательно, вероятность непоявления ). В качестве дискретной случайной величины рассмотрим число появлений события в этих испытаниях. Закон распределения данной случайной величины называется биномиальным законом и имеет вид
|
|
|
|
… |
|
… |
|
|
|
|
|
|
|
… |
|
… |
|
|
|
Распределение Пуассона
Распределение Пуассона имеет вид
|
|
|
|
… |
|
… |
|
|
|
|
… |
|
… |
где .
Простейший поток событий
Рассмотрим события, которые наступают в случайные моменты времени.
Потоком событий называют последовательность событий, которые наступают в случайные моменты времени.
Потоки могут обладать свойствами стационарности, отсутствия последействия и ординарности.
Свойство стационарности характеризуется тем, что вероятность появления событий на любом промежутке времени зависит только от числа и от длительности промежутка и не зависит от начала его отсчета; при этом различные промежутки времени предполагаются непересекающимися.
Свойство отсутствия последействия характеризуется тем, что вероятность появления событий на любом промежутке времени не от того, появлялись или не появлялись события в моменты времени, предшествующие началу рассматриваемого промежутка.
Свойство ординарности характеризуется тем, что появление двух и более событий за малый промежуток времени практически невозможно.
Простейшим (пуассоновским) называют поток, который обладает свойствами стационарности, отсутствия последействия и ординарности.
Интенсивностью потока называют среднее число событий, которые появляются в единицу времени.
Если постоянная интенсивность потока известна, то вероятность появления событий простейшего потока за время длительностью определяется формулой Пуассона
. |
(31) |
Геометрическое распределение
Пусть производятся независимые испытания, в каждом из которых вероятность появления события равна и, следовательно, вероятность его непоявления . Испытания заканчиваются, как только появится событие . Таким образом, если событие появилось в м испытании, то в предыдущих испытаниях оно не появилось.
Через обозначим дискретную случайную величину – число испытаний, которое нужно провести до первого появления события .
Вероятность того, что в первых испытаниях событие не наступило, а в -м испытании появилось, равна
. |
(32) |
Геометрическое распределение имеет вид
|
|
|
3 |
… |
|
… |
|
|
|
|
… |
|
… |