- •2. Основна теорема теорії мн-нів.
- •3. Критерій розв’язуваності конгруенцій з одним невідомим першого степеня.
- •4. Основна теорема арифметики.
- •5. Знаходження оберненої матриці за допомогою визначників
- •6.Розв’язування с-ми лінійних рівнянь (слр) матричним способом. Формули Крамера.
- •7. Властивості множення матриць.
- •8. Критерій визначеності с-ми лінійних рівнянь (слр)
- •9. Критерій сумісності с-ми лінійних рівнянь .
- •1 0. Власт. Лз та лнз систем векторів.
- •11. Означення та вл-сті паралельних і розбіжних прямих на площині Лобачевського.
- •Дедекіндів переріз відрізка np
- •13. Аксіома Лобачевского. Основні факти геометрії.
- •14 Довжина дуги лінії на поверхні. Перша квадратична форма.
- •15. Дотична пряма і нормальна площина до гладкої просторової лінії. Виведення рівнянь.
- •16. Принцип двоїстості на проективній площині і в просторі. Теорема Дезарга.
- •1. Дано:
- •2. Дано:
- •17 Рухи. Властивості рухів. Класифікація рухів. Рухи
- •18.Рівняння площини і прямої в просторі.
- •1.Канонічне рівняння прямої.,
- •4. Параметричне р-ня прямої.
- •19.Змішаний добуток 3-х векторів. Геометр. Зміст змішаного добутку.
- •20.Векторний добуток 2-х векторів. Геометр. Зміст векторного добутку.
- •22. Похідна ф-ції комплексної змінної. Критерій існування. Умови Коші-Рімана.
- •23. Визначений інтеграл із змінною верхньою межею. Існування первісної неперервної ф-ції. Теорема Ньютона-Лейбніца.
- •24.Основні теореми диференціального числення (Ферма, Лагранжа, Коші, Роля)
- •26. Показникова і тригонометричні ф-ції в комплексній області.
- •27.Неперервні ф-ції та її властивості (теореми Больцано-Веєштраса I-II).
- •28. Означення границі ф-ції за Гейне і Коші.
- •30. Теорема Больцано – Вейєрштрасса (про підпослдовність).
26. Показникова і тригонометричні ф-ції в комплексній області.
Зрозуміло, що озн. sin i cos, яке ми мали для R змінної х, яке дається в елементарній матем. не може бути перенесене на аргумент, бо невідомо що розуміти під кутом (1+і) радіан. Щоб ввести ці ф-ції в обл. потрібно використати якісь ідеї. Цих ідей є декілька. Розгл. одну з них.
В R аналізі ми мали, що ф-ції sinx, cosx, ex розкладалися в наступні ряди Маклорена на всій R осі:
Зробимо формальну заміну х на число z:
(1)
Для з’ясування збіжності утворимо ряд з модулів: За озн. Даламбера:
.
Це озн., що ряд абсолютно збіжний на всій пл., а отже його сума є деяка ф-ція задана на всій мн. . Оск. ф-ція, яка є сумою ряду (1) при , то логічно наз. цю ф-цію експонентою. Позначається: expz. Тому за озн. маємо:
Аналогічно розв’язується проблема із sinz і cosz:
Розгл. Власт. одержаних в пл. ф-цій.
Отже, :
Отже:
Отже:
А остання рівність озн., що поряд з алгебраїчною і тригоно-метричною формою числа можна говорити і про експонен-ціальну форму:
З’ясуємо (в зв’язку з останньою рівністю) чи 2kπi є періодом експоненціальної ф-ції.
А це озн., що експоненціальна ф-ція періодична з періодом 2kπi. Цей період є уявним числом і найменшим за модулем є число 2πi.
Додавши ці два ряди будемо мати:
(2)
Віднявши останні два ряди будемо мати:
(3)
(4)
Формули (2), (3), (4) наз. формулами Ейлера.
Властивості sin i cos:
Із озн. цих ф-цій видно, що:sin(–z)=–sinz, cos(–z)=cosz
Враховуючи формули Ейлера одержимо, що ці ф-ції періодичні з тим же періодом, що і для R аргумента – 2π.
Перевіримо, чи справедливі тут формули додавання:
Аналогічно одержимо і інші формули додавання.
Покладемо: z2 = –z1 = z, cos 0 = cos2z+sin2z
1 = cos2z+sin2z
Займемось проблемою обмеженості cos і sin: виділимо дійсні та уявні частини кожної з цих ф-цій і оцінимо модуль кожної з них.
Скористаємось:
sin (iz) = i shz, cos (iz) = chz
Виділимо дійсну і уявну частину cos і sin.
Отже, ми одержали:
А оск. при y+ крайні частини останньої нерівності +, то остання нерівність дозволяє сказати: sin z в обл. є необмеженою ф-цією.Аналогічно для cos z.
27.Неперервні ф-ції та її властивості (теореми Больцано-Веєштраса I-II).
Озн.: Ф-ція F(x) наз.неперервною на мн. E , якщо вона неперервна в кожній т. цієї мн.
Т.1. Якщо y=f(x) і на кінцях цього відрізка приймає значення різних знаків, то хоча б одна точка с (a,b): f(c)=0 .
Дов. Позначимо через E мн. тих точок [a,b], в яких значення
ф-ції > 0. E={x│x [a,b], f(x)>0}. Оск. ф-ції ( в т. неперервна справа ) то за т. про консервативність [а, а+ ) : f(x)>0. Значить цей [а, а+ ) E. Аналогічно з цієї т. одержимо мн. ( ]: ( ], f(x)>0, а отже ні одна т. цього півокола до мн. Е.
Значить кожна із точок ( ] включаючи і т. ( ) буде верхньою межею мн.Е .Отже supE=с при чому с (a,b) , бо ми довели, що а<c<b. Звідси що f(c)=0. Прип. що f(c)≠0.Тоді за т. про консервативність [a,b] : .Звідси ні одна т. цього околу Е. Оск. с є верхньою межею мн. точок і ні одне х [a,b]: x>c, теж Е. Значить кожна т. з буде верхньою межею мн. Е, в тому числі і точка . Це неможливо, бо с – найменша з верхніх меж. Протиріччя! Випадок f(c)>0 розглядається аналогічно.
Висновок: f(с)=0.
Т.2. Якщо f(x) і f(а)≠f(b), то , що лежить між f(а) і f(b)
Дов. Нех. f(а)<f(b) Розгл. , . Тоді задовольняє умови 1-ої т. Б-К , тобто .
Наслідок. Якщо функція неперервна на [a,b] то множиною її значень буде деякий відрізок або одно точкова множина.