- •2. Основна теорема теорії мн-нів.
- •3. Критерій розв’язуваності конгруенцій з одним невідомим першого степеня.
- •4. Основна теорема арифметики.
- •5. Знаходження оберненої матриці за допомогою визначників
- •6.Розв’язування с-ми лінійних рівнянь (слр) матричним способом. Формули Крамера.
- •7. Властивості множення матриць.
- •8. Критерій визначеності с-ми лінійних рівнянь (слр)
- •9. Критерій сумісності с-ми лінійних рівнянь .
- •1 0. Власт. Лз та лнз систем векторів.
- •11. Означення та вл-сті паралельних і розбіжних прямих на площині Лобачевського.
- •Дедекіндів переріз відрізка np
- •13. Аксіома Лобачевского. Основні факти геометрії.
- •14 Довжина дуги лінії на поверхні. Перша квадратична форма.
- •15. Дотична пряма і нормальна площина до гладкої просторової лінії. Виведення рівнянь.
- •16. Принцип двоїстості на проективній площині і в просторі. Теорема Дезарга.
- •1. Дано:
- •2. Дано:
- •17 Рухи. Властивості рухів. Класифікація рухів. Рухи
- •18.Рівняння площини і прямої в просторі.
- •1.Канонічне рівняння прямої.,
- •4. Параметричне р-ня прямої.
- •19.Змішаний добуток 3-х векторів. Геометр. Зміст змішаного добутку.
- •20.Векторний добуток 2-х векторів. Геометр. Зміст векторного добутку.
- •22. Похідна ф-ції комплексної змінної. Критерій існування. Умови Коші-Рімана.
- •23. Визначений інтеграл із змінною верхньою межею. Існування первісної неперервної ф-ції. Теорема Ньютона-Лейбніца.
- •24.Основні теореми диференціального числення (Ферма, Лагранжа, Коші, Роля)
- •26. Показникова і тригонометричні ф-ції в комплексній області.
- •27.Неперервні ф-ції та її властивості (теореми Больцано-Веєштраса I-II).
- •28. Означення границі ф-ції за Гейне і Коші.
- •30. Теорема Больцано – Вейєрштрасса (про підпослдовність).
4. Параметричне р-ня прямої.
Виберем яку-небудь афінну с-му коорд. і задамо пряму d напрямним і т. .Т. коли і колінеарні, тобто коли число t: =t . Це співвідношення в коорд. запишеться так: чи (4*) - параметричне р-ня прямої з параметром t.
Отже дійсного t точка з координатами (x,y,z) ,яка задовільняє умовам (4*) лежить на прямій d.Обернено ,якщо (x,y,z) – точка прямої d ,то завжди знайдеться таке t,що x,y,z виражаються через за допомогою рівності (4*).
19.Змішаний добуток 3-х векторів. Геометр. Зміст змішаного добутку.
Озн. Змішаним добутком не компланарних векторів , взятих в даному порядку наз. Об’єм паралелепіпеда, побудованого на цих векторах, взятий із знаком „+”, якщо базис правий і із знаком „-”, якщо цей базис лівий. Змішаний добуток компланарних векторів рахується =0.
Змішаний добуток векторів познач. Так: або .
Виведемо формулу для обчислення змішаного добутку через коорд. векторів.
Лема. Які б не були -й базис і ортонормований правий базис , має місце рівність
=( ) .
Теорема. Якщо вектори в довільному базисі мають коорд. , , , то
= (*)
Дов. Якщо вектори компланарні, то рівність (*) правильна. Нехай деякий ортонормований правий базис, а - визначник, який записаний в правій частині рівності (*). Тоді за властивістю базисів будемо мати:
.
Поск. за властивістю базисів =1, то одержимо: (**).
За лемою чисельник правої частини рівності (**) = , а знаменник = , тому з рівності (**) рівність (*).
Якщо базис ортонормований, то , тому справедливе твердження:
Наслідок. Якщо вектори в ортонормованому базисі мають коорд. , , , то
= , де =1, якщо базис правий і =-1, якщо –лівий.
Вл-ті змішаного добутку:
Для -х векторів і і -го числа мають місце наст. рівності:
1. =
2. = , =
3. , ,
4. .
Дов. Виберемо ортонормований правий базис і задамо дані вектори в координатах , , , .
1) = .
Геометр. зміст.
Об’єм паралелепіпеда побудованого на векторах = модулю змішаного добутку цих векторів.
20.Векторний добуток 2-х векторів. Геометр. Зміст векторного добутку.
Озн. Векторним добутком не колінеарних векторів і наз. Такий вектор , що
1)
2) і
3) вектор напрямлений так, що ( ) права трійка.
Векторний добуток колінеарних векторів =0.
Векторний добуток векторів і познач. або .
Теорема1. Які б не були вектори , і = .
Теорема. Для того, щоб вектори і були колінеарні , щоб .
Дов. Необхід. і колінеарні . .
Дост. . - вектори спів напрямлені.
Теорема. Якщо вектори і в ортонормованому базисі мають коорд. , , то вектор має коорд.:
(**).
Дов. Нехай x, y, z- коорд. вектора . Тоді
= , тому = . За теор.1 = x= . Аналог. одерж.: y= , z= . Тоді згідно формули для обчислення зм. добутку будемо мати:
, ,
.
Тобто = = (*).
Вл-ті вект. добутку:
Для -х векторів , і і для -го справедливі рівності:
1. =
2. ,
3. . , .
Дов. Виберемо ортонормований правий базис і задамо дані вектори в координатах , , . Використовуючи формулу (*) довод. вл-ті.
Вл-ть 3. .
Задамо дані вектори в координатах (x,y,z), , .
За формулою (**) одерж., що .
Аналог. одерж. , . Отже, дана вл. справедлива.
Лема Для -х векторів і справедл. рівність = .
Геометр. зміст.
Площа паралелограма побудованого на векторах і чисельно = модулю векторного добутку .
.
*** 21.Застосування похідної до дослідження ф-ції на монотонність і знаходження екстремуму. Монотонність і похідна
Т.1. (Достатня умова строгої монотонності ф-ції на проміжку)
Нехай , диференційована на . Якщо ↗ на .
Д оведення. Візьмемо
a x1 c x2 b
Застосуємо до і ф-ції т. Лагранжа (умови її виконуються), будемо мати:
P.S. Аналогічна теорема з очевидними змінами буде справедлива і для монотонного спадання:
Т.2................................................. (доведення аналогічне)
Очевидно, що теореми обернені до тільки що розглянутих будуть невірними.
П-д: , яка ↗ на , але умова не виконується в т.x=0. Там .
Критерії нестрогої монотонності ф-ції на інтервалі:
Т.3. Нехай , диференційована на . Для того щоб була ⇟ на ⇔, щоб
■ Доведення: Необхідність
(Достатність доводиться так само, як і в Т.1)
Візьмемо тоді матимемо, що:
■ Аналогічною є теорема для монотонного не спадання:
Т.4.........................
Критерії строгої монотонності.
Т.5. Для того, щоб була ↗ на ⇔, щоб:
1)
2) Ніякі точки з , в яких не утворювали б відрізка.
■ Доведення: Необхідність
Нехай ↗ на , значить ⇟, а тому за Т.3
Покажемо, що 2) виконується.
Прип., що вона не виконується. Тобто ,а звідси за наслідком із т. Лагранжа ⇒ , , тому , що неможливо, бо і ↗ .Суперечність.
Достатність
Нехай виконуються умови 1), 2).
З 1) ⇒, що ⇟ на . Прип., що не буде ↗, тобто , звідси, і з того, що ⇟ маємо, що на , тобто на а це протирічить умові теореми. Суперечність. ■
Аналогічною є теорема про строге спадання ф-ції:
Т.6................................
P.S. В умовах 2-х останніх теорем вимагається диференційовність ф-ції на . Ці теореми повністю вирішують проблему монотонності диф. на проміжку ф-ції. З допомогою похідної виріш. проблема екстремальних точок.
Похідна і екстремум ф-ції
Озн: Нехай визначена в . Т. наз. точкою максимуму(мінімуму), якщо : , крім т. ⇒ ( ).
Точки max і min ф-ції наз. точками екстремуму ф-ції, а значення ф-ції в цих точках – екстремальними.
Т.1. (Необхідна умова екстремуму ф-ції)
Якщо т. є т. екстремуму ф-ції і якщо в цій т. похідна, то ( в точках екстремуму або не існує ).
П-д , але екстремуму немає.
Оск. екстремум може бути в точках, де або не існує, то по-перше, назвемо ці точки критичними. По-друге, перед нами стоїть завдання, як серед цих точок ’’виловити’’ точки екстремуму.
Т.2. (перші достатні умови існування екстремуму)
Нехай задана в ( – критична) і диференційована в лівому і правому пів околах.
Тоді, якщо при проходженні через точку зліва на право похідна змінює знак:
+ → – то в точці має max
– → + то min
не змінює знаку – екстремуму немає
□ Доведемо 1. Це означає, що ( - розмір околу)
P.S. Всюди в подальшому ми будемо досліджувати той випадок коли точка є точкою неперервності функція . Для доведення нашої теореми в першому випадку. Треба довести, що (*). Візьмемо тоді може попасти на , або . Нехай попав на . Розгл. , ясно, що тут неперервна і на диференційована. Тому за теоремою Лагранжа матимемо:
звідси маємо: ⇒↗.
Аналогічно розглядаються і інші випадки. ■
Т.3. (другі достатні умови існування екстремуму)
Нехай двічі диференційована в критичній точці . Тоді, якщо , якщо , якщо потрібні ще дослідження
Зауважимо, що якщо в , то в О( ), як випливає з озн. повинно .
на інтервалі .
на інтервалі .
Нехай . Тоді .....
Тоді при проходженні через т. змінює знак з „-” на „+”. А за доведеною раніше теоремою означає, що в т. має мінімум. Випадок розглядається аналогічно. (випадок коли в Ільїн Садовн.-Сендов).
Схема дослідження ф-ції на екстремум:
знаходимо похідну ф-ції і критичні точки цієї ф-ції;
наносимо на числову вісь одержані критичні точки, а також точки розриву ф-ції. Ці точки розбивають область визначення ф-ції на інтервали.
знаходимо знак похідної на кожному з цих інтервалів.
з допомогою картинки визначаємо точки екстремуму (математичні проміжки монотонності ф-ції) , – екстремуму немає.
В цьому параграфі ми навчилися, як за допомогою похідної знаходити проміжки монотонності ф-ції, а також точки екстремуму. Виявляється що похідна допомагає встановити форму графічної ф-ції на тому чи іншому проміжку. Тобто чи на якомусь проміжку графік ф-ції має форму вгнутості чи форму опуклості, ці проблеми розв’яжемо в наступному параграфі.