- •2. Основна теорема теорії мн-нів.
- •3. Критерій розв’язуваності конгруенцій з одним невідомим першого степеня.
- •4. Основна теорема арифметики.
- •5. Знаходження оберненої матриці за допомогою визначників
- •6.Розв’язування с-ми лінійних рівнянь (слр) матричним способом. Формули Крамера.
- •7. Властивості множення матриць.
- •8. Критерій визначеності с-ми лінійних рівнянь (слр)
- •9. Критерій сумісності с-ми лінійних рівнянь .
- •1 0. Власт. Лз та лнз систем векторів.
- •11. Означення та вл-сті паралельних і розбіжних прямих на площині Лобачевського.
- •Дедекіндів переріз відрізка np
- •13. Аксіома Лобачевского. Основні факти геометрії.
- •14 Довжина дуги лінії на поверхні. Перша квадратична форма.
- •15. Дотична пряма і нормальна площина до гладкої просторової лінії. Виведення рівнянь.
- •16. Принцип двоїстості на проективній площині і в просторі. Теорема Дезарга.
- •1. Дано:
- •2. Дано:
- •17 Рухи. Властивості рухів. Класифікація рухів. Рухи
- •18.Рівняння площини і прямої в просторі.
- •1.Канонічне рівняння прямої.,
- •4. Параметричне р-ня прямої.
- •19.Змішаний добуток 3-х векторів. Геометр. Зміст змішаного добутку.
- •20.Векторний добуток 2-х векторів. Геометр. Зміст векторного добутку.
- •22. Похідна ф-ції комплексної змінної. Критерій існування. Умови Коші-Рімана.
- •23. Визначений інтеграл із змінною верхньою межею. Існування первісної неперервної ф-ції. Теорема Ньютона-Лейбніца.
- •24.Основні теореми диференціального числення (Ферма, Лагранжа, Коші, Роля)
- •26. Показникова і тригонометричні ф-ції в комплексній області.
- •27.Неперервні ф-ції та її властивості (теореми Больцано-Веєштраса I-II).
- •28. Означення границі ф-ції за Гейне і Коші.
- •30. Теорема Больцано – Вейєрштрасса (про підпослдовність).
4. Основна теорема арифметики.
Т. " N число >1 або є простим, або може бути представлене, і, при тому єдиним способом у вигляді добутку простих чисел.
(Два представлення, які відрізняються лише порядком розмі-щення множників, вважаються однаковими).
Дов. І. Існування розкладу.
Нех. n = 2. Оск. 2 – просте число, то для n = 2 твердження т. є справедливим. Прип., що твердження справедливе " N чисел, які 2, але < деякого п , і дов. справедливість твердження для п.
Розгл. . Якщо п – просте, то твердження має місце. Якщо п – складене, то його можна записати у вигляді п = п1п2 , де
1 <n1 < n і 1< n2 < n. Для чисел п1 і п2 згідно з індуктивним припущенням буде справедливим і . Тоді , тобто $-ня розкладу " п доведено.
ІІ.Єдиність розкладу.
Нехай п=2, це просте число, отже його розклад єдиний.
Прип., що розклад на прості множники єдиний для всіх N чисел, >2, але < п, і доведемо єдиність розкладу для п.
Якщо п – просте число, то його розклад є єдино можливим. Нехай п – складене, прип., що його можна розкласти на прості множники 2-а різними способами:
і .
Тоді = .
Ліва частина цієї рівності ділиться на р1, тоді на р1 повинен ділитися один із множників добутку . Нех. .оск. q1 – просте число і р1>1, то . Поділимо обидві частини рівності на , і отримаємо =
Оск. і – числа ,< п, то згідно індуктивного припущення з останньої рівності випливає, що l = s, p2 = q2, …, pl = qs .
Отже, теорему доведено.
Згідно з осн. т. арифметики "складене число n>1 можна представити у вигляді добутку простих чисел. Серед цих простих мн-ків можуть зустрічатись однакові. Нех., нап-д, р1 зустрічається раз, раз, …, раз, тоді розклад числа п на прості числа мн-ки можна запис. . (*)
Мн-ки переважно розміщуються в порядку зростання. Перетворення N числа п до виду (*) наз. факторизацією числа, а сама форма (*) – канонічною
5. Знаходження оберненої матриці за допомогою визначників
Лема. Сума добутків ел-тів деякого рядка(стовпця) квадратної матриці на алгебраїчне доповнення відповідних ел-тів іншого рядка(стовпця) = нулю.
Дов. Нех.
Покажемо, що , ( )
Розгл. матрицю В, яка відрізняється від А лише і-им рядком, тим що в i–му рядку записані ел-ти j–го рядка.
оск. В має 2 однакові рядки, то
Розгл. визначник матриці В за j–им рядком.
, ( )
Отже,
Т. Якщо – не вироджена матриця, то
(*)
Дов. Покажемо, що . А – невироджена Þ А–оборотна Þ $ : Þ . Покажемо, що матриця (*) задов. рівність:
Аналогічно можна показати, що Е.
Отже, є оберненою до А.
6.Розв’язування с-ми лінійних рівнянь (слр) матричним способом. Формули Крамера.
Розгл. квадратну с-му n–рівнянь з n невідомими записаному в матричній формі , де – невироджена матриця.
, тоді, для А
– формула для знаходження розв’язків.
Останню рівність запишемо розгорнуто
де ,
, можна записати в розширеному вигляді
Якщо останній розкрити по і-му стовпчику, то вийде: Отже, – це визначник матриці утвореної з матриці А заміною і-го стовпчика стовпцем вільних членів – називають формулою Крамера.