- •2. Основна теорема теорії мн-нів.
- •3. Критерій розв’язуваності конгруенцій з одним невідомим першого степеня.
- •4. Основна теорема арифметики.
- •5. Знаходження оберненої матриці за допомогою визначників
- •6.Розв’язування с-ми лінійних рівнянь (слр) матричним способом. Формули Крамера.
- •7. Властивості множення матриць.
- •8. Критерій визначеності с-ми лінійних рівнянь (слр)
- •9. Критерій сумісності с-ми лінійних рівнянь .
- •1 0. Власт. Лз та лнз систем векторів.
- •11. Означення та вл-сті паралельних і розбіжних прямих на площині Лобачевського.
- •Дедекіндів переріз відрізка np
- •13. Аксіома Лобачевского. Основні факти геометрії.
- •14 Довжина дуги лінії на поверхні. Перша квадратична форма.
- •15. Дотична пряма і нормальна площина до гладкої просторової лінії. Виведення рівнянь.
- •16. Принцип двоїстості на проективній площині і в просторі. Теорема Дезарга.
- •1. Дано:
- •2. Дано:
- •17 Рухи. Властивості рухів. Класифікація рухів. Рухи
- •18.Рівняння площини і прямої в просторі.
- •1.Канонічне рівняння прямої.,
- •4. Параметричне р-ня прямої.
- •19.Змішаний добуток 3-х векторів. Геометр. Зміст змішаного добутку.
- •20.Векторний добуток 2-х векторів. Геометр. Зміст векторного добутку.
- •22. Похідна ф-ції комплексної змінної. Критерій існування. Умови Коші-Рімана.
- •23. Визначений інтеграл із змінною верхньою межею. Існування первісної неперервної ф-ції. Теорема Ньютона-Лейбніца.
- •24.Основні теореми диференціального числення (Ферма, Лагранжа, Коші, Роля)
- •26. Показникова і тригонометричні ф-ції в комплексній області.
- •27.Неперервні ф-ції та її властивості (теореми Больцано-Веєштраса I-II).
- •28. Означення границі ф-ції за Гейне і Коші.
- •30. Теорема Больцано – Вейєрштрасса (про підпослдовність).
30. Теорема Больцано – Вейєрштрасса (про підпослдовність).
Озн. наз. обмеженою, якщо
Відома т., яка говорить, що кожна зб. посл. є обм.. Обернений результат невірний. Пр-д: .
Т. (Больцано – Веєрштрасса)
З кожної обм. посл. R чисел можна виділити зб. підпосл.
Дов. Нех. – обмежена .
т. відрізок розділимо на два рівних відрізки і позначимо через той із них, який містить безліч членів нашої посл.(якщо цю власт. мають обидва відрізки, то беремо з них). Продовжуючи цей процес і т. д. ми одержимо посл. відрізків з такими власт.:
довжина .
містить безліч членів .
Із 1), 2) за аксіомою Кантора . Скільки членів посл. лежатиме в .Візьмемо: , : і тоді з власт. 3) маємо : в
є безліч членів посл.
Візьмемо .Розгл. .Тут є безліч членів . Візьмемо один з них і позначимо його .
Візьмемо і розгл. . Там буде безліч членів . Тоді член – : ( такий , бо в є безліч членів ) , при чому .
Візьмемо і розгл. і т.д.
Продовжуючи цей процес і т.д. ми на к–тому кроці візьмемо . Розгл. , в ньому знайдемо : . Це озн. (1) і т.д.
Одержали підпосл. посл. : .
З останньої нерівності за т. „про два міліціонери” одержимо, що . Із виділили збіжну підпосл., і довели теорему.
Пр-ди (1,2,3,... ) показує, т. перестає бути вірною, якщо зняти умову обмеженості.
Число с, яке ми одержали в доведенні Т.Б–В будучи границею не зобов‘язане бути границею проте ми його в майбутньому наз. частковою границею .
Озн.: Число с наз. частковою границею , якщо воно є границею деякої підпосл. цієї посл.
П-д: очевидно має дві часткові границі: 0 і 1. Співвідношення між частковими границями і границею посл.:
Т. Для того, щоб обм. посл. була зб. необх. і дост., щоб вона мала тільки одну часткову границю.
Сформулюємо аналог т.Б-В в такому виді:
посл. R чисел має принаймні одну часткову границю (можливо будь-якого знаку).