- •2. Основна теорема теорії мн-нів.
- •3. Критерій розв’язуваності конгруенцій з одним невідомим першого степеня.
- •4. Основна теорема арифметики.
- •5. Знаходження оберненої матриці за допомогою визначників
- •6.Розв’язування с-ми лінійних рівнянь (слр) матричним способом. Формули Крамера.
- •7. Властивості множення матриць.
- •8. Критерій визначеності с-ми лінійних рівнянь (слр)
- •9. Критерій сумісності с-ми лінійних рівнянь .
- •1 0. Власт. Лз та лнз систем векторів.
- •11. Означення та вл-сті паралельних і розбіжних прямих на площині Лобачевського.
- •Дедекіндів переріз відрізка np
- •13. Аксіома Лобачевского. Основні факти геометрії.
- •14 Довжина дуги лінії на поверхні. Перша квадратична форма.
- •15. Дотична пряма і нормальна площина до гладкої просторової лінії. Виведення рівнянь.
- •16. Принцип двоїстості на проективній площині і в просторі. Теорема Дезарга.
- •1. Дано:
- •2. Дано:
- •17 Рухи. Властивості рухів. Класифікація рухів. Рухи
- •18.Рівняння площини і прямої в просторі.
- •1.Канонічне рівняння прямої.,
- •4. Параметричне р-ня прямої.
- •19.Змішаний добуток 3-х векторів. Геометр. Зміст змішаного добутку.
- •20.Векторний добуток 2-х векторів. Геометр. Зміст векторного добутку.
- •22. Похідна ф-ції комплексної змінної. Критерій існування. Умови Коші-Рімана.
- •23. Визначений інтеграл із змінною верхньою межею. Існування первісної неперервної ф-ції. Теорема Ньютона-Лейбніца.
- •24.Основні теореми диференціального числення (Ферма, Лагранжа, Коші, Роля)
- •26. Показникова і тригонометричні ф-ції в комплексній області.
- •27.Неперервні ф-ції та її властивості (теореми Больцано-Веєштраса I-II).
- •28. Означення границі ф-ції за Гейне і Коші.
- •30. Теорема Больцано – Вейєрштрасса (про підпослдовність).
11. Означення та вл-сті паралельних і розбіжних прямих на площині Лобачевського.
Геометрія Л. – це неевклідова геометрія, вона грунтується на аксіомах І-ІV груп аксіом Евклідової (Абсолютної) геометрії + Аксіома Лобачевського.
З аксіоми Л. Þ, що на пл-ні $ безліч прямих, що проходять через т. А а і не перетинають а. Прямі на пл-ні Л. вважають направленими, тобто пряма АВ має напрям (від А до В).
Озн. Пряма АВ наз. паралельною прямій СD, якщо ці прямі не перетинаються і які б не були точки Р АВ і Q СD, " внутрішній промінь кута QPB перетинає промінь QD.
Ознака: Пряма АВ буде паралельною прямій CD, якщо $-ють т. Р АВ, Q CD : " промінь РМ QPB перетин. промінь QD.
Доведемо цей факт для різного розміщення точок Р, Q, М.
Дано: АВ, CD, AB CD=Ø
P AB, Q CD, PM – внутрішній промінь QPB,
PM QD Ø
Довести:
Дов.
І.
Р= , h – внутрішній промінь QPB, . h – внутрішній промінь .
ІІ.
P´=P, Q´:Q–Q´–D. h – внутрішній промінь Q´PB h – внутр. промінь QPB (за умовою) h Q´D≠Ø.
III. , , h – внутр. промінь проведемо
Озн.Через т. поза прямою в пл-ні, визначеній ними, в одному напрямку можна провети єдину пряму, паралельну даній.
Дов. Дано: АВ, М АВ. Проведемо: MN AB, CD MN (M CD) CD AB=Ø (за лемою). Виберемо (M-P-D)
Дедекіндів переріз відрізка np
Розбиття на класи К1 і К2 : т. Х К1, якщо МХ NB≠Ø; : т.Y К2, якщо МY NB=Ø.
Вл-сті дедекіндового перерізу:
а) 1.N К1, N1 K1. .
2. P . За акс. Лобачевського $-ть дві прямі, які проходять через М і не перетинають АD (C´D´ ) .
б) Якщо то N–N1–P1.
Прип. протилежне, N – P1 – N1. Звідси Þ: МР1 – внутр. промінь Ø. Тоді , що суперечить умові з б).
Виконано дедекіндів переріз ($ т. М0, яка здійснює переріз).
Доведемо, що . МВС: прип. . Звідси Þ, що . Виберемо S: N–H–S, звідки Þ , але ж М0–М0´–Р Þ, що т. М0 не здійснює дедекіндів переріз Þ припущення невірне, тобто .
Отже, ММ0 АВ.
Озн. Через т. поза прямою проходить дві прямі паралельні даній в різних напрямках.
Т. Відстань від " т. однієї з паралельних прямих до іншої зменшується в напрямку паралельності.
Дов.
3
2
1
Нех. – кут паралельності; – кут паралельності, але ж кут паралельності гострий, тому кут 3 – тупий. Значить , звідси (за вла-стю 4-кутника) Þ PQ>MN.
Озн. Дві прямі на пл-ні Лобачевського, які не паралельні і не перетин. наз. розбіжними або зверхпаралельними.
Тобто на пл-ні Лобачевського прямі можуть:
перетинатися;
бути паралельними;
бути розбіжними.
Ознака розбіжності прямих: Дві прямі, які мають спільний будуть розбіжні.
Дов. MN – спільний прямих АВ і CD.
а) (за лемою) АВ, CD не перетинаються
б) не може бути кутом паралельності Þ АВ не паралельна до CD. Звідси Þ прямі не мають спільного .
Отже АВ і CD – розбіжні.
Т.1.
Якщо дві прямі мають спільний , то він єдиний.
Дов. MN – спільний АВ і CD. Прип. =4d – суперечність.
Т.2. Якщо MN – спільний розбіжних прямих АВ і CD (M ), то відстань від т. однієї з цих прямих (АВ) до іншої збіл. якщо ця т. віддаляється від основи (т. М) в обидві сторони.
Дов.
MN, NMPQ – двопрямокутник з основою NQ.Þ Þ – гострий, .
Отже .