56. Опишите метод Байеса-Лапласа нахождения оптимальной стратегии

Метод Байеса это аналитический метод, который очень полезен при сравнении гипотез. В этом методе вероятности всех возможных исходов эксперимента объединяются с гипотезами, известными до проведения эксперимента, и затем исчисляется вероятность того, что данные гипотезы подтвердятся в ходе эксперимента. Метод исчерпывающе описывается теоремой Байеса: p(Hi|UiI)=p(Hi|I)*p(Ui|HiI)/p(Ui|I)

где: p(Hi|I) – начальная вероятность того, что гипотеза H верна, исходя из имеющегося опыта I; p(Ui|I) – вероятность наблюдения события Ui, исходя только из опыта I. p(Ui|HiI) – вероятность наблюдения события Ui, исходя как из опыта I, так и из гипотезы Hi. p(Hi|UiI) – апостериорная вероятность истинности гипотезы Hi на основании опыта I и полученных экспериментальных наблюдений Ui.

Теория Бэйеса. Пусть пространство элементарных событий  представлено в виде  =Н₁+Н₂+Н₃+...+Н_n+..., где Н_k- попарно несовместные события, которые часто называют гипотезами. Если событие Р(Н_k)>0 при k=1,2,..., то для любого события А справедливы: формула полной вероятности

и формулы Байеса где i=1,2,...

Неопределенные факторы, закон распределения которых неизвестен, яв-ся наиболее характерными при исследовании качества адаптивных систем. Именно на этот случай следует ориентироваться при выборе гибких конструкторских решений. Методический учет таких факторов базируется на формировании специальных критериев, на основе которых принимаются решения. Критерии Вальда, Сэвиджа, Гурвица и Лапласа уже давно и прочно вошли в теорию принятия решений. Критерий Байеса-Лапласа в отличие от критерия Вальда, учитывает каждое из возможных следствий всех вариантов решений: Соответствующее правило выбора можно интерпретировать следующим образом: матрица решений [Wij] дополняется еще одним столбцом, содержащим математическое ожидание значений каждой из строк. Выбирается тот вариант, в строках которого стоит наибольшее значение Wir этого столбца. Критерий Байеса-Лапласа предъявляет к ситуации, в которой принимается решение, следующие требования:

- вероятность появления состояния Vj известна и не зависит от времени; - принятое решение теоретически допускает бесконечно большое количество реализаций;

- допускается некоторый риск при малых числах реализаций.

Критерий Байеса-Лапласа. Этот критерий отступает от условий полной неопределенности - он предполагает, что возможным состояниям природы можно приписать определенную вероятность их наступления и, определив математическое ожидание выигрыша для каждого решения, выбрать то, которое обеспечивает наибольшее значение выигрыша: vBL = maxi ? aij yj. Этот метод предполагает возможность использования какой-либо предварительной информации о состояниях природы. При этом предполагается как повторяемость состояний природы, так и повторяемость решений, и прежде всего, наличие достаточно достоверных данных о прошлых состояниях природы. То есть основываясь на предыдущих наблюдениях прогнозировать будущее состояние природы (статистический принцип). Возвращаясь к нашей игре "Поставщик" предположим, что руководители фирмы-потребителя, прежде чем принять решение, проанализировали, насколько точно поставщие ранее выполнял сроки поставок, и выяснили, что в 25 случаях из 100 сырье поступало с опозданием. Исходя из этого, можно приписать вероятность наступления первого состояния природы вероятность yj=0,75=(1-0,25), второго - yj=0,25. Тогда согласно критерию Байеса-Лапласа оптимальным яв-ся решение А1. Стратегии ? aij yj А1 - 175* А2 -187,5 А3 – 215 А4 - 297,5 Перечисленные критерии не исчерпывают всего многообразия критериев выбора решения в условиях неопределенности, в частности, критериев выбора наилучших смешанных стратегий, однако и этого достаточно, чтобы проблема выбора решения стала неоднозначной: Решение Критерии Стратегии Вальда maxmax Гурвица Сэвиджа Лапласа Байеса-Л А1 * * * А2 * * * А3 * * * А4 Из таблицы видно, что от выбранного критерия (а в конечном счете - от допущений) зависит и выбор оптимального решения. Выбор критерия ( как и выбор принципа оптимальности) яв-ся наиболее трудной и ответственной задачей в теории принятия решений. Однако конкретная ситуация никогда не бывает настолько неопределенной, чтобы нельзя было получить хоты-бы частичной информации отностительно вероятностного распределения состояний природы. В этом случае, оценив распределение вероятностей состояний природы применяют метод Байеса-Лапласа, либо проводяд эксперимент, позволяющий уточнить поведение природы.

56. Опишите метод Байеса-Лапласа нахождения оптимальной стратегии Критерий Байеса. 1) Пусть А является матрицей выигрышей игрока А.

2) Известны вероятности q_j=p(П_j), j=1,…,n, состояний природы П_j, j=1,…,n, удовлетворяющие условию (1). Следовательно, речь идет о принятии решения в условиях риска. 3) Полагаем l=n и матрицу В выбираем равной матрице А, т.е. b_ij=a_ij для всех i=1,…,m и j=1,…,n. 4) Коэффициенты l₁,…,l_n, выбираем равными соответствующим вероятностям q₁,…,q_n, т.е. l_l=q_i, i=1,…,n. Этим самым игрок А выражает полное доверие к истинности распределения вероятностей q₁,…,q_n, состояний природы.

Из (1) следует, что коэффициенты l_j, j=1,…,n удовлетворяют условию (3).

5) Показатель эффективности стратегии А_i по критерию Байеса обозначим через В_i и находим его по формуле (3):

.

(6)

Очевидно, что В_i – средневзвешенный выигрыш при стратегии А_i с весами q₁,…,q_n.

Если стратегию А_i трактовать как дискретную случайную величину, принимающую значения выигрышей при каждом состоянии природы, то вероятности этих выигрышей будут равны вероятностям состояний природы и тогда В_i есть математическое ожидание этой случайной величины (см. (6)).

6) Цена игры по критерию Байеса, обозначаемая нами через В, определяется по формуле (4):

7) Оптимальной среди чистых стратегий по критерию Байеса является стратегия А_k, для которой показатель эффективности максимален:В_k=В.