2.2. Числовые характеристики дискретной случайной величины

Кроме закона распределения очень важными являются, так называемые числовые характеристики СВ. Они характеризуют среднее значение случайной величины и разброс (рассеяние, вариацию) значений вокруг среднего значения.

2.2.1. Математическое ожидание дсв

Определение 1. Математическим ожиданием случайной величины называется ее теоретическое (ожидаемое) среднее значение.

Математическое ожидание величины Х обозначается М(Х), m_x или m.

Для ДСВ математическое ожидание равно сумме произведений всех ее значений на соответствующие вероятности их появления.

(2.2.1)

Математическое ожидание обладает рядом свойств:

1. Математическое ожидание постоянной (неслучайной) величины равно самой постоянной, т.е. М(с) = с.

2. Постоянный множитель выносится за знак математического ожидания, т.е. М(с Х) = с М(Х).

3. Математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий, т.е. М(Х + Y) = М(Х) + М(Y).

4. Математическое ожидание отклонения случайной величины от своего математического ожидания равно нулю, т.е. М(Х - М(Х)) = 0.

5. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий, т.е. если Х и Y независимы, то M(XY) = M(X) M(Y).

Пример 4. Найти математическое ожидание числа очков при одном бросании игральной кости.

Закон распределения числа очков на игральной кости мы уже находили

В соответствии с формулой (2.2.1), получим

Пример 5. Производится два выстрела по цели с вероятностями попадания при первом выстреле 0,6, а при втором - 0,8. Найти математическое ожидание числа попаданий.

Обозначим Х - число попаданий при первом выстреле, Y - число попаданий при втором выстреле. Очевидно, что обе величины принимают одно из двух значений 0 или 1, поэтому

и математические ожидания равны М(Х) = 0 0,4 + 1 0,6 = 0,6 и М(Y) = 0,8. Нас интересует среднее число попаданий при двух выстрелах, т.е. математическое ожидание суммы Х + Y, поэтому M(X + Y) = M(X) + M(Y) = 0,6 + 0,8 = 1,4.

Замечание. Если множество значений дискретной случайной величины составляет бесконечную последовательность, то математическое ожидание - это сумма ряда

Причем, если ряд расходится, то случайная величина не имеет математического ожидания.

Таким образом, математическое ожидание характеризует случайную величину в среднем.

Из примеров 4 и 5 видно, что математическое ожидание это значение, которое случайная величина может никогда не принять, поэтому его называют теоретическим средним. Вокруг него разбросаны все допустимые значения СВ.

2.2.2. Дисперсия св

Рассмотрим характеристику рассеяния (разброса, вариации) значений случайной величины вокруг теоретически среднего значения. Основной характеристикой такого рассеяния является дисперсия.

Определение 2. Дисперсией называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от своего математического ожидания (т.е. дисперсия - это средний квадрат отклонения от среднего). Дисперсия обозначается или D(X), или , или и по определению равна

(2.2.2)

Для дискретной случайной величины с математическим ожиданием М(Х) = m формула для вычисления дисперсии имеет вид

(2.2.3)

Пример 6. Имеется три одинаковых прибора, каждый из которых исправен с вероятностью 0,8. Приборы испытывают поочередно до тех пор, пока не будет найден исправный прибор или закончатся приборы. Найти дисперсию числа испытанных приборов.

Обозначим Х - число испытанных приборов. Очевидно Х ={1; 2; 3}. А - первый испытанный прибор исправен, В - второй исправен.

Р(Х = 1) = Р(А) = 0,8. Р(Х = 2) = Р( ) = 0,2 0,8 = 0,16.

Р(Х = 3) = 1 - Р(Х = 1) - Р(Х = 2) = 1 - 0,8 - 0,16 = 0,04. Поэтому закон распределения имеет вид

M(X) = m = 1 0,8 + 2 0,16 + 3 0,04 = 1,24.

В соответствии с формулой (2.2.3), получим

D(X) = (1 - 1,24)² 0,8 + (2 - 1,24)² 0,16 + (3 - 1,24)² 0,04 = 0,2624.

Дисперсия обладает свойствами:

1. Дисперсия равна математическому ожиданию квадрата случайной величины без квадрата ее математического ожидания, т.е.

(2.2.4)

2. Дисперсия постоянной величины равна нулю, т.е. D( c) = 0.

3. Постоянный множитель при вынесении за знак дисперсии возводится в квадрат, т.е.

D(c Х) = с² D(Х).

2. Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме их дисперсий, т.е. если Х и Y - независимые величины, то

D(Х + Y) = D(X) + D(Y).

Замечание. Даже для независимых величин дисперсия произведения, вообще говоря, не равна произведению дисперсий.

Следствие. Из свойств 3 и 4 следует, что для независимых величин дисперсия разности равна сумме дисперсий.

D(Х - Y) = D(X) + D(Y).

Попробуйте это объяснить самостоятельно.

Для дискретных случайных величин с математическим ожиданием M(x)=m формула вычисления дисперсии на основании свойства 1 имеет вид:

. (2.2.5)

Пример 6 (продолжение). Найдем теперь дисперсию по формуле (2.2.5)

Таким образом, для вычисления дисперсии можно выбирать одну из двух формул (2.2.3) или (2.2.5), в зависимости от того, какая из них удобнее для вычислений в каждом конкретном случае.

Отметим, что размерность дисперсии равна квадрату размерности случайной величины, что не всегда удобно. Поэтому иногда в качестве меры рассеяния используют среднее квадратическое отклонение, равное корню из дисперсии

(2.2.6)

а иногда, если М(Х)  0, используют безразмерную характеристику - коэффициент вариации

(2.2.7)

Пример 6 (продолжение). Найти среднее квадратическое отклонений и коэффициент вариации. В соответствии с формулами (2.2.6) и (2.2.7) получим