2.3. Наиболее важные дискретные случайные величины

Рассмотрим два наиболее распространенных дискретных распределения.

2.3.1. Биномиальный закон

Допустим, что необходимо провести серию испытаний, чтобы выяснить, произойдет ли в результате интересующее нас случайное событие А. Будем называть эти испытания независимыми, если вероятность появления события А является постоянной величиной.

Определение 1. Случайная величина подчиняется биномиальному закону распределения (имеет биномиальный закон или распределена по биномиальному закону), если она равна числу появлений данного события в серии независимых испытаний.

Обозначим эту величину Х. Пусть число испытаний равно n, а вероятность события в каждом испытании равна р (как и ранее q = 1 - p). Очевидно, Х может принимать любое из множества значений {0, 1, ... , n}.

Вероятность того, что при n независимых испытаниях случайное событие А произойдет ровно k раз находятся по формуле Бернулли (1.4.1):

(2.3.1)

Пример 7. Написать закон распределения исправных приборов, если всего приборов 3, а вероятность для каждого из них быть исправным 0,9.

В этом случае n = 3, p = 0,9.

Закон распределения в виде таблицы будет иметь вид

Математическое ожидание случайной величины, имеющей биномиальное распределение равно M(X) = np, (2.3.2)

а дисперсия D(X) = npq. (2.3.3)

Таким образом для примера 7 математическое ожидание (среднее число исправных приборов) равно 30,9 = 2,7, а дисперсия равна 30,90,1 = 0,27.

2.3.2. Закон Пуассона

Определение 2. Случайная величина Х подчиняется закону Пуассона, если она принимает все целые неотрицательные значения и вероятности находятся по формуле

(2.3.4)

Математическое ожидание случайной величины Х, подчиненной закону Пуассона, равно (2.3.5)

Дисперсия равна (2.3.6)

Пример 8. Случайная величина Х подчиняется закону Пуассона и P(X=0)=0,607. Найти математическое ожидание и дисперсию этой величины.

Используя формулу (2.3.4), можно написать

следовательно, В силу формул (2.3.5) и (2.3.6) получаем М(Х) = D(X) = 0,499.

Если однотипные события происходят последовательно во времени, то они образуют поток событий. Если в любой момент времени может произойти не более одного события потока (одно или не одного), то поток называется ординарным. Если вероятность того, что за время t произойдет k событий потока не зависит от начала отсчета времени t, то поток называется стационарным. Если число событий, наступающих после данного произвольного момента времени, не зависит от того, сколько их произошло до этого момента, то поток называется потоком без последствий.

Определение 3. Ординарный, стационарный поток без последствий называется простейшим потоком или Пуассоновским потоком.

Обозначим  среднее число событий простейшего потока в единицу времени, оно называется плотностью потока.

Рассмотрим случайную величину ( ), значения которой равны числу событий простейшего потока за время t. Очевидно, что множество всех ее значений {0, 1, 2, ..., n, ... }.

Вероятность того, что за время t произойдет ровно k событий потока находится по формуле

(2.3.7)

Закон Пуассона имеет большое прикладное значение, так как ему подчиняются такие характеристики, как обрывность в прядении и ткачестве, число заявок на внеплановый ремонт технологического оборудования и т.п. Действительно, такие события как обрывы пряжи, остановы ткацкого станка из-за обрыва основы, остановы технологического оборудования из-за неисправности и т.п. образуют простейшие потоки событий.

Пример 8. Обрывность в прядильном цехе составляет 100 обрывов на 1000 веретен в час. Найти вероятность того, что за одну смену (8 час.) на одном веретене произойдет 4 обрыва.

100 обрывов на 1000 веретен в час - это средняя обрывность, т.е. математическое ожидание обрывности. Поэтому плотность числа обрывов на одном веретене в час составит

(обрывов в час).

Тогда, в соответствии с формулой (2.3.7), получим при t =8

Эта вероятность столь мала, что событие Х₈ = 4 практически невозможно. (Если, тем не менее, такое событие произошло, то делают вывод, что указанное веретено требует наладки, т.к. при средней обрывности 100 обрывов на 1000 веретен в час на одном веретене за смену практически не может произойти 4 обрыва).