Задание n 11 Тема: Группы и подгруппы
Операция «+» – сложения образует группу на множестве …
|
|
|
целых четных чисел |
|
|
|
натуральных чисел |
|
|
|
целых нечетных чисел |
|
|
|
действительных чисел без нуля |
Решение: Множество целых четных чисел с введенной операцией сложения образует группу. Множество натуральных чисел не группа, так как, например, не имеет противоположного элемента. Множество целых нечетных не имеет нулевого элемента, как и множество действительных чисел без нуля.
Задание n 12 Тема: Линейные отображения
Линейным отображением пространства трехмерных векторов на пространство двумерных векторов является …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение: Линейным называется отображение удовлетворяющее условиям: , . Проверим на линейность отображение : , , Следовательно – первое условие не выполнено, а значит не является линейным отображением. Для отображения проверим выполнение второго условия: Условие не выполняется, значит не линейное отображение. Проверим выполнение второго условия для отображения : Следовательно, данное отображение не является линейным. Проверим выполнение условий линейности для отображения : , , Следовательно – первое условие выполнено. – второе условие выполнено. Поэтому является линейным отображением.
ЗАДАНИЕ N 13 Тема: Прямая линия в пространстве
Прямая параллельна плоскости , если параметр равен …
|
|
|
– 11 |
|
|
|
– 7 |
|
|
|
7 |
|
|
|
11 |
ЗАДАНИЕ N 14 Тема: Кривые второго порядка
Уравнением кривой второго порядка на плоскости определяется …
|
|
|
эллипс |
|
|
|
гипербола |
|
|
|
парабола |
|
|
|
пара пересекающихся прямых |
Решение: Выделим в уравнении полный квадрат по переменной : , или . Разделив обе части этого уравнения на 10, получим уравнение вида: , которое на плоскости определяет эллипс.
ЗАДАНИЕ N 15 Тема: Прямоугольные координаты на плоскости
Даны точки и . Тогда координаты точки , симметричной точке относительно точки , равны …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 16 Тема: Плоскость в пространстве
Плоскость, проходящая через точки и параллельно оси , задается уравнением …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение: Общее уравнение плоскости, параллельной оси , имеет вид: . Точки и лежат в искомой плоскости, следовательно, их координаты удовлетворяют уравнению : , отсюда , . Подставим найденные значения в уравнение плоскости: или , то есть .
ЗАДАНИЕ N 17 Тема: Определение вероятности
Игральная кость бросается два раза. Тогда вероятность того, что сумма выпавших очков – десять, равна …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
ЗАДАНИЕ N 18 Тема: Законы распределения вероятностей дискретных случайных величин
Дискретная случайная величина задана законом распределения вероятностей: Тогда вероятность равна …
|
|
|
0,8 |
|
|
|
0,3 |
|
|
|
0,7 |
|
|
|
0,4 |
ЗАДАНИЕ N 19 Тема: Полная вероятность. Формулы Байеса
Банк выдает 40% всех кредитов юридическим лицам, а 60% – физическим лицам. Вероятность того, что юридическое лицо не погасит в срок кредит, равна 0,1; а для физического лица эта вероятность составляет 0,05. Получено сообщение о невозврате кредита. Тогда вероятность того, что этот кредит не погасило физическое лицо, равна …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,07 |
|
|
|
0,05 |
Решение: Предварительно вычислим вероятность события A (выданный кредит не будет погашен в срок) по формуле полной вероятности: . Здесь – вероятность того, что кредит был выдан юридическому лицу; – вероятность того, что кредит был выдан физическому лицу; – условная вероятность того, что кредит не будет погашен в срок, если он был выдан юридическому лицу; – условная вероятность того, что кредит не будет погашен в срок, если он был выдан физическому лицу. Тогда . Теперь вычислим условную вероятность того, что этот кредит не погасило физическое лицо, по формуле Байеса: .
ЗАДАНИЕ N 20 Тема: Числовые характеристики случайных величин
Математическое ожидание дискретной случайной величины , заданной законом распределения вероятностей: равно 4,4. Тогда значение вероятности равно …
|
|
|
0,7 |
|
|
|
0,3 |
|
|
|
0,6 |
|
|
|
0,4 |
Решение: Математическое ожидание дискретной случайной величины вычисляется по формуле . Тогда . А с учетом условия получаем систему уравнений: решение которой имеет вид: , .
ЗАДАНИЕ N 21 Тема: Интервальные оценки параметров распределения
Дан доверительный интервал для оценки математического ожидания нормально распределенного количественного признака. Тогда при уменьшении объема выборки этот доверительный интервал может принять вид …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 22 Тема: Статистическое распределение выборки
Из генеральной совокупности извлечена выборка объема , гистограмма частот которой имеет вид: Тогда значение a равно …
|
|
|
38 |
|
|
|
39 |
|
|
|
76 |
|
|
|
37 |
ЗАДАНИЕ N 23 Тема: Проверка статистических гипотез
Для проверки нулевой гипотезы при заданном уровне значимости выдвинута конкурирующая гипотеза . Тогда область принятия гипотезы может иметь вид …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 24 Тема: Элементы корреляционного анализа
При построении выборочного уравнения парной регрессии вычислены выборочный коэффициент корреляции и выборочные средние квадратические отклонения . Тогда выборочный коэффициент регрессии на равен …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение: Выборочный коэффициент регрессии на вычисляется по формуле . Тогда .
ЗАДАНИЕ N 25 Тема: Отображение множеств
Отображение действует по правилу: Тогда имеет вид …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение: Так как при и при , то .
ЗАДАНИЕ N 26 Тема: Элементы теории множеств
Даны три множества: , и . Тогда число элементов множества равно …
|
3 | |
Решение: Выполним операцию в скобках, то есть определим множество . Теперь выполним вычитание, в результате которого получится множество чисел, принадлежащих , но без чисел множества : . Таким образом, множество содержит три элемента.
ЗАДАНИЕ N 27 Тема: Метрические пространства
Расстояние между точками и в метрике , где и , равно …
|
|
|
4 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
ЗАДАНИЕ N 28 Тема: Мера плоского множества
Мера плоского множества , где А= и равна …
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
0 |
|
|
|
1 |
Решение: Мера плоского множества равна площади соответствующей фигуры, то есть квадрата со стороной 2. Мера плоского множества равна площади соответствующей фигуры, то есть круга с радиусом 1. Так как круг целиком лежит внутри квадрата, то искомая мера равна .
ЗАДАНИЕ N 29 Тема: Приложения определенного интеграла
Площадь фигуры, изображенной на рисунке равна …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 30 Тема: Дифференциалы и теоремы о дифференцируемых функциях
Дана функция . Тогда меньший действительный корень производной этой функции принадлежит промежутку …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение: Эта функция представляет собой полином 6-го порядка и дифференцируема на всей числовой оси. Согласно теореме Ролля между двумя корнями (нулями) этой функции находится по крайней мере один корень ее производной. Поскольку представляет собой полином (5-го порядка), то между двумя корнями функции находится ровно один корень ее производной . Найдем корни функции : . Тогда меньший действительный корень функции принадлежит интервалу .
ЗАДАНИЕ N 31 Тема: Непрерывность функции, точки разрыва
Для функции точка является точкой …
|
|
|
разрыва второго рода |
|
|
|
разрыва первого рода |
|
|
|
непрерывности |
|
|
|
устранимого разрыва |
Решение: Вычислим односторонние пределы функции в точке : , . Так как один из односторонних пределов в точке , а именно , то точка является точкой разрыва второго рода.
ЗАДАНИЕ N 32 Тема: Дифференциальное исчисление ФНП
Частная производная второго порядка функции имеет вид …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение: При вычислении частной производной функции по одной из переменных другую переменную рассматриваем как постоянную величину. Тогда .
ЗАДАНИЕ N 33 Тема: Элементы комбинаторики
В урне находятся 10 белых, 15 красных, 20 голубых шаров. Все шары пронумерованы. Сколькими различными способами можно взять из урны три шара разных цветов?
|
3000 | |
Решение: Возьмем один белый шар. Это действие можно выполнить 10 способами (по числу различных белых шаров в урне). К выбранному белому шару присоединим красный шар, который можно взять 15 различными способами (по числу различных красных шаров в урне). К выбранной присоединим голубой шар, который можно взять 20 способами (по числу различных голубых шаров в урне). Таким образом, можно образовать различные тройки разноцветных шаров. Число различных способов выбора троек разноцветных шаров совпадает с числом различных трех действий и по правилу умножения равно:
ЗАДАНИЕ N 34 Тема: Операции над высказываниями
Для функции , заданной таблицей, СДНФ имеет вид …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение: СДНФ будет выглядеть следующим образом:
ЗАДАНИЕ N 35 Тема: Неориентированные графы
Для графа, изображенного на рисунке, последовательность является …
|
|
|
маршрутом |
|
|
|
цепью |
|
|
|
циклом |
|
|
|
деревом |
ЗАДАНИЕ N 36 Тема: Декартово произведение множеств
Даны множества , и . Тогда число элементов декартова произведения множеств равно…
|
|
|
8 |
|
|
|
6 |
|
|
|
12 |
|
|
|
4 |
Решение: Декартово произведение множеств – это множество, состоящее из упорядоченных пар элементов, первым элементом которых являются элементы первого множества, вторым – элементы второго, то есть Данное множество содержит восемь элементов.
ЗАДАНИЕ N 37 Тема: Дифференциальная геометрия поверхностей
Первая квадратичная форма поверхности имеет вид …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение: Запишем поверхность в виде вектор-функции и вычислим частные производные: , . Коэффициенты первой квадратичной формы определим по формулам: ; ; . Тогда ; ; . Таким образом, .
ЗАДАНИЕ N 38 Тема: Дифференциальная геометрия кривых
Длина дуги кривой при , равна …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3,14 |
ЗАДАНИЕ N 39 Тема: Асимптоты кривой
Асимптоты кривой имеют вид …
Математика i-exam вариант 5
ЗАДАНИЕ N 1 Тема: Поле направлений и изоклины
Поле направлений дифференциального уравнения определяется неравенством …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение: Так как поле направлений дифференциального уравнения задано в области определения функции двух переменных , то для нахождения области задания поля направлений следует решить неравенство . Тогда .
ЗАДАНИЕ N 2 Тема: Системы двух линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
Решение задачи Коши , имеет вид …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение: Решим систему дифференциальных уравнений методом исключения. Из второго уравнения находим , откуда ; после подстановки в первое уравнение системы получим линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами . Характеристическое уравнение имеет два действительных корня: . Таким корням соответствует общее решение однородного дифференциального уравнения . Поскольку правая часть исходного уравнения , то имеем уравнение со специальной правой частью. Так как не является корнем характеристического уравнения, то частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде . Найдя производные первого и второго порядков и подставив в уравнение , получим . Тогда общее решение этого уравнения имеет вид . Дифференцируя полученное решение, находим и Значит, общее решение системы уравнений имеет вид . Найдем значения произвольных постоянных и , соответствующих исходной задаче Коши, подставляя начальные условия в общее решение. Получим систему уравнений или Решая эту систему, находим значения постоянных величин . Поэтому решение задачи Коши имеет вид .
ЗАДАНИЕ N 3 Тема: Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
Если угловой коэффициент касательной к кривой в любой ее точке вдвое больше углового коэффициента радиуса-вектора точки касания, то уравнение этой кривой будет иметь вид …
|
|
|
, |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
, |
ЗАДАНИЕ N 4 Тема: Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка
Частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее условию , имеет вид …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение: Введем замену ; . Тогда уравнение примет вид , или . Пусть . Тогда . Подставим найденное значение в уравнение . Получим: , то есть и . Общее решение примет вид . Подставив начальное условие, получим . Откуда и частное решение будет иметь вид .
ЗАДАНИЕ N 5 Тема: Элементы теории множеств
Даны два множества: и . Тогда количество целых значений , принадлежащих разности множеств \ , равно …
|
4 |
ЗАДАНИЕ N 6 Тема: Отображение множеств
Пусть задано отображение . Тогда имеет вид …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 7 Тема: Метрические пространства
Функция , где – действительные числа, …
|
|
|
удовлетворяет всем трем аксиомам метрического пространства |
|
|
|
не удовлетворяет аксиоме тождества |
|
|
|
не удовлетворяет аксиоме симметрии |
|
|
|
не удовлетворяет аксиоме треугольника |
ЗАДАНИЕ N 8 Тема: Мера плоского множества
Мера плоского множества равна …
|
|
|
4 |
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
0 |
Решение: Мера плоского множества равна площади соответствующей фигуры, то есть квадрата со стороной 2. Следовательно, мера этого множества равна 4.
ЗАДАНИЕ N 9 Тема: Плоскость в пространстве
Уравнение плоскости, проходящей через точки , и , имеет вид …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 10 Тема: Прямая линия в пространстве
Точка пересечения прямой и плоскости имеет координаты …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение: Запишем уравнение прямой в параметрическом виде: , то есть . Подставим полученные уравнения в уравнение плоскости . Тогда , или . Подставляя значение параметра в систему параметрических уравнений , найдем координаты точки пересечения прямой и плоскости .
ЗАДАНИЕ N 11 Тема: Прямоугольные координаты на плоскости
В треугольнике с вершинами , и проведена медиана , длина которой равна …
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
Решение: Точка является серединой отрезка . Координаты середины отрезка определяются по формулам , . Подставляя в эти формулы координаты точек и , получим координаты точки : , . Расстояние между точками и можно найти по формуле . То есть .
ЗАДАНИЕ N 12 Тема: Кривые второго порядка
Асимптоты гиперболы задаются уравнениями …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение: Асимптоты гиперболы задаются уравнениями вида . Разделив обе части уравнения на 36, получим каноническое уравнение гиперболы: . То есть и . Тогда уравнения асимптот примут вид .
ЗАДАНИЕ N 13 Тема: Статистическое распределение выборки
Из генеральной совокупности извлечена выборка объема , полигон относительных частот которой имеет вид: Тогда число вариант в выборке равно …
|
|
|
37 |
|
|
|
63 |
|
|
|
100 |
|
|
|
36 |
ЗАДАНИЕ N 14 Тема: Проверка статистических гипотез
Основная гипотеза имеет вид . Тогда конкурирующей может являться гипотеза …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 15 Тема: Интервальные оценки параметров распределения
Дан доверительный интервал для оценки математического ожидания нормально распределенного количественного признака. Тогда при уменьшении объема выборки этот доверительный интервал может принять вид …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение: Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормально распределенного количественного признака можно представить в виде симметричного интервала , где точечная оценка математического ожидания , а точность оценки . В случае уменьшения объема выборки точность оценки ухудшается, то есть значение будет больше 2,13.
ЗАДАНИЕ N 16 Тема: Элементы корреляционного анализа
Выборочное уравнение прямой линии регрессии на имеет вид . Тогда выборочное среднее признака равно …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение: Выборочное уравнение прямой линии регрессии на имеет вид . Тогда выборочное среднее признака равно .
ЗАДАНИЕ N 17 Тема: Дифференцирование функции комплексного переменного
Если , то равно …
|
|
|
4 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 18 Тема: Области на комплексной плоскости
Все точки комплексной плоскости, принадлежащие множеству , изображенному на рисунке: удовлетворяют условию …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 19 Тема: Операции над комплексными числами
Если и – корни квадратного уравнения , то равно …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 20 Тема: Особые точки функции комплексного переменного
Для функции точка является …
|
|
|
полюсом второго порядка |
|
|
|
полюсом третьего порядка |
|
|
|
полюсом первого порядка |
|
|
|
существенно особой точкой |
Решение: Порядок полюса функции вида равен порядку нуля . Так как , то точка будет полюсом второго порядка.
ЗАДАНИЕ N 21 Тема: Асимптоты кривой
Асимптоты кривой имеют вид …
|
|
|
и |
|
|
|
и |
|
|
|
и |
|
|
|
и |
Решение: Кривая описывается соотношением , то есть функция представлена в явном виде. В точке функция имеет разрыв второго рода, поэтому уравнение вертикальной асимптоты имеет вид: . Наклонные или горизонтальные асимптоты определяются уравнением (для горизонтальных асимптот ). 1. Находим асимптоту при (правую асимптоту): , . Следовательно, уравнение правой асимптоты имеет вид: . 2. Аналогично находим асимптоту при (левую асимптоту): , . Следовательно, уравнение левой асимптоты совпадает с уравнением правой асимптотой и имеет вид: . Таким образом, прямые и являются асимптотами заданной кривой.
Математика i-exam вариант 6
ЗАДАНИЕ N 1 Тема: Проверка статистических гипотез
Соотношением вида можно определить …
|
|
|
правостороннюю критическую область |
|
|
|
левостороннюю критическую область |
|
|
|
двустороннюю критическую область |
|
|
|
область принятия гипотезы |
ЗАДАНИЕ N 2 Тема: Элементы корреляционного анализа
При построении выборочного уравнения парной регрессии вычислены выборочный коэффициент корреляции и выборочные средние квадратические отклонения . Тогда выборочный коэффициент регрессии на равен …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 3 Тема: Статистическое распределение выборки
Из генеральной совокупности извлечена выборка объема , гистограмма частот которой имеет вид: Тогда значение a равно …
|
|
|
38 |
|
|
|
39 |
|
|
|
76 |
|
|
|
37 |
ЗАДАНИЕ N 4 Тема: Интервальные оценки параметров распределения
Дан доверительный интервал для оценки математического ожидания нормально распределенного количественного признака. Тогда при уменьшении объема выборки этот доверительный интервал может принять вид …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение: Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормально распределенного количественного признака можно представить в виде симметричного интервала , где точечная оценка математического ожидания , а точность оценки . В случае уменьшения объема выборки точность оценки ухудшается, то есть значение будет больше 2,13.
ЗАДАНИЕ N 5 Тема: Операции над высказываниями
Из трех логических выражений: эквивалентными являются …
|
|
|
и |
|
|
|
и |
|
|
|
и |
|
|
|
все функции |
ЗАДАНИЕ N 6 Тема: Элементы комбинаторики
Из города в город ведут 5 дорог, из в – 3 дороги, имеются также 2 дороги из в , минуя . Из в можно попасть ____ способом(-ами).
|
17 | |
Решение: Из города в город можно попасть способами, из в – с помощью способов. Тогда из в через можно попасть способами (по правилу произведения); а из в , минуя , можно попасть способами. Поэтому по правилу суммы общее число способов, которыми можно попасть из города в город , равно: .
ЗАДАНИЕ N 7 Тема: Декартово произведение множеств
Пусть заданы два множества: , . Тогда геометрическая интерпретация множества имеет вид …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 8 Тема: Неориентированные графы
Эйлеровым является граф …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 9 Тема: Дифференциальная геометрия кривых
Траектория движущейся точки задается уравнением Тогда значение касательного ускорения в момент равно …
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
Решение: Касательное ускорение на параметрически заданной кривой вычисляется как . Вычислим производные первого и второго порядка. Найдем , при любых значениях .
ЗАДАНИЕ N 10 Тема: Дифференциальная геометрия поверхностей
Точка с координатами на поверхности является …
|
|
|
гиперболической точкой |
|
|
|
параболической точкой |
|
|
|
эллиптической точкой |
|
|
|
точкой уплощения |
Решение: Тип точки на поверхности определяется по виду соприкасающегося параболоида в этой точке к поверхности. Построим соприкасающийся параболоид: . Вычислим частные производные второго порядка: ; ; . В точке ; ; . Тогда соприкасающийся параболоид является гиперболическим параболоидом, а сама точка относится к гиперболическому типу.