Задание n 11 Тема: Асимптоты кривой
Асимптоты кривой имеют вид …
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
Решение: Кривая описывается соотношением , то есть функция представлена в явном виде. В точке функция имеет разрыв, поэтому уравнение вертикальной асимптоты имеет вид: . Наклонные или горизонтальные асимптоты определяются уравнением (для горизонтальных асимптот ). 1. Находим асимптоту при (правую асимптоту): , . Следовательно, уравнение правой асимптоты имеет вид: . 2. Аналогично находим асимптоту при (левую асимптоту): , . Следовательно, уравнение левой асимптоты совпадает с уравнением правой асимптоты и имеет вид: . Таким образом, прямые и являются асимптотами заданной кривой.
Задание n 12 Тема: Основные понятия топологии
Внешностью множества в топологическом пространстве с топологией является …
|
|
|
пустое множество |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение: Внешность M – это совокупность всех внутренних точек дополнения к множеству M, то есть входящих в дополнение к M с какой-либо своей окрестностью (открытым множеством). Дополнением является множество – закрытое множество, которое не содержит в себе ни одного открытого множества из данной топологии. Таким образом, внешностью множества в данном случае будет пустое множество.
ЗАДАНИЕ N 13 Тема: Непрерывность функции, точки разрыва
Для функции точка является точкой …
|
|
|
разрыва второго рода |
|
|
|
разрыва первого рода |
|
|
|
непрерывности |
|
|
|
устранимого разрыва |
ЗАДАНИЕ N 14 Тема: Дифференциалы и теоремы о дифференцируемых функциях
Приближенное значение функции при , вычисленное с использованием дифференциала первого порядка, равно …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 15 Тема: Дифференциальное исчисление ФНП
Частная производная функции имеет вид …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 16 Тема: Приложения определенного интеграла
Площадь фигуры, изображенной на рисунке равна …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 17 Тема: Поле направлений и изоклины
Поле направлений дифференциального уравнения определяется неравенством …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение: Так как поле направлений дифференциального уравнения задано в области определения функции двух переменных , то для нахождения области задания поля направлений следует решить неравенство . Тогда .
ЗАДАНИЕ N 18 Тема: Системы двух линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
Общее решение системы дифференциальных уравнений имеет вид …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 19 Тема: Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка
Функция является общим решением дифференциального уравнения 1-го порядка. Тогда для начального условия частное решение этого уравнения имеет вид …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 20 Тема: Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
Дифференциальное уравнение будет уравнением с разделяющимися переменными при значении , равном …
|
|
|
2 |
|
|
|
0 |
|
|
|
4 |
|
|
|
1 |
Решение: Данное уравнение можно представить в виде . Это уравнение будет уравнением с разделяющимися переменными при , то есть при . Откуда .
ЗАДАНИЕ N 21 Тема: Определение вероятности
Игральная кость бросается два раза. Тогда вероятность того, что сумма выпавших очков не меньше девяти, равна …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
Решение: Для вычисления события (сумма выпавших очков будет не меньше девяти) воспользуемся формулой , где – общее число возможных элементарных исходов испытания, а m – число элементарных исходов, благоприятствующих появлению события A. В нашем случае возможны элементарных исходов испытания, из которых благоприятствующими являются исходы вида , , , , , , , и , то есть . Следовательно, .
ЗАДАНИЕ N 22 Тема: Числовые характеристики случайных величин
Непрерывная случайная величина задана плотностью распределения вероятностей: Тогда ее математическое ожидание равно …
|
|
|
3 |
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
0 |
ЗАДАНИЕ N 23 Тема: Законы распределения вероятностей дискретных случайных величин
Банк выдал пять кредитов. Вероятность того, что кредит не будет погашен в срок, равна 0,1. Тогда вероятность того, что в срок не будут погашены три кредита, равна …
|
|
|
0,0081 |
|
|
|
0,081 |
|
|
|
0,06 |
|
|
|
0,0729 |
ЗАДАНИЕ N 24 Тема: Полная вероятность. Формулы Байеса
Имеются четыре урны, содержащие по 3 белых и 7 черных шаров, и шесть урн, содержащих по 8 белых и 2 черных шара. Из наудачу взятой урны вытаскивается один шар, который оказался белым. Тогда вероятность того, что этот шар был вынут из первой серии урн, равна …
|
|
|
0,20 |
|
|
|
0,80 |
|
|
|
0,72 |
|
|
|
0,40 |
Решение: Предварительно вычислим вероятность события A (вынутый наудачу шар – белый) по формуле полной вероятности: . Здесь – вероятность того, что шар извлечен из первой серии урн; – вероятность того, что шар извлечен из второй серии урн; – условная вероятность того, что вынутый шар белый, если из он извлечен из первой серии урн; – условная вероятность того, что вынутый шар белый, если из он извлечен из второй серии урн. Тогда . Теперь вычислим условную вероятность того, что этот шар был извлечен из первой серии урн, по формуле Байеса: .
ЗАДАНИЕ N 25 Тема: Мера плоского множества
Мера плоского множества равна …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
0 |
ЗАДАНИЕ N 26 Тема: Метрические пространства
Расстояние между точками и в метрике , где и , равно …
|
|
|
4 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
Решение: .
ЗАДАНИЕ N 27 Тема: Элементы теории множеств
Даны три множества: , и . Тогда число элементов множества равно …
|
1 | |
Решение: Определим множество и выполним операцию пересечения . В результате получится множество , состоящее из одного элемента.
ЗАДАНИЕ N 28 Тема: Отображение множеств
Пусть задано отображение . Тогда представляет собой …
|
|
|
единичную окружность |
|
|
|
отрезок |
|
|
|
квадрат |
|
|
|
гиперболу |
ЗАДАНИЕ N 29 Тема: Линейные отображения
Пусть – базис пространства . Операторы и этого пространства заданы матрицами ; . Тогда матрица оператора равна …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение: .
ЗАДАНИЕ N 30 Тема: Основные алгебраические структуры
Обратным элементом для матрицы относительно операции сложения матриц является …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 31 Тема: Дробно-рациональные функции
Множество всех дробно-рациональных функций образует поле относительно обычных операций сложения и умножения таких функций. Пусть и , причем и Тогда числитель суммы равен …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение: Разложим на линейные множители знаменатели дробно-рациональных функций и : Тогда То есть, числитель суммы равен .
ЗАДАНИЕ N 32 Тема: Группы и подгруппы
На множестве целых чисел группу образует операция * определенная как …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 33 Тема: Кривые второго порядка
Уравнение директрисы параболы, проходящей через точки , и симметричной относительно оси , имеет вид …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение: Каноническое уравнение параболы, проходящей через начало координат и симметричной относительно оси имеет вид: , а уравнение директрисы: . Параметр находится из условия, что точка принадлежит параболе, то есть , . Тогда уравнение директрисы параболы примет вид: .
ЗАДАНИЕ N 34 Тема: Прямоугольные координаты на плоскости
Точки и лежат на одной прямой, параллельной оси ординат. Расстояние между точками и равно 6. Тогда положительные координаты точки равны …
|
|
|
, |
|
|
|
, |
|
|
|
, |
|
|
|
, |
Решение: Точки, лежащие на одной прямой, параллельной оси OY, имеют одинаковые абсциссы, следовательно, и . Расстояние между двумя точками и находится по формуле . Тогда расстояние между точками и можно найти как . Из условия , получаем , или . Следовательно, ; . Тогда положительные координаты точки равны: , .
ЗАДАНИЕ N 35 Тема: Плоскость в пространстве
Уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно векторам и , имеет вид …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение: Уравнение плоскости, проходящей через точку с нормальным вектором , имеет вид: . В качестве нормального вектора плоскости возьмем векторное произведение векторов и . Тогда , или . Подставляя в уравнение плоскости координаты точки и вектора , получим: или .
ЗАДАНИЕ N 36 Тема: Прямая линия в пространстве
Острый угол между прямыми и равен …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение: Угол между прямыми и определяется как угол между их направляющими векторами: и , который можно вычислить по формуле: . Тогда , то есть .
ЗАДАНИЕ N 37 Тема: Особые точки функции комплексного переменного
Число особых точек функции равно …
|
|
|
3 |
|
|
|
5 |
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
Решение: Для функции точки – полюсы первого порядка, – полюс первого порядка. Следовательно, число особых точек равно трем.
ЗАДАНИЕ N 38 Тема: Дифференцирование функции комплексного переменного
Если и , то мнимая часть производной этой функции имеет вид …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 39 Тема: Области на комплексной плоскости
Все точки комплексной плоскости, принадлежащие множеству , изображенному на рисунке, удовлетворяют условию …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 40 Тема: Операции над комплексными числами
Дано комплексное число . Тогда равно …
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
Решение: Если комплексное число в тригонометрической форме имеет вид , то по формуле Муавра , где – натуральное число. Запишем число в тригонометрической форме: 1) находим модуль числа ; 2) составляем систему уравнений для нахождения аргумента и главного значения аргумента: 3) находим главное значение аргумента комплексного числа , которое равно ; 4) тогда . Следовательно,