31.Моделі і методи процесу обчислення економічних систем.

Адекватною математичною моделлю для аналізу набору показ­ників є система S, що визначається як n-арне відношення. Будь-яка методика обчислення рейтингу зводиться до послідовної факторизації набору з n вихідних показників, результатом якої є елемент лінійно впорядкованої (напівупорядкованої) множини. Уніфікованим засобом опису процесу обчислення рейтингу на підставі аналізу комплексних оцінок (незалежно від конкретної методики) може бути його подання у вигляді дискретного перетворення М. Областю дії такого перетворення є п-мірний масив А, де п — кількість використаних комплексних характеристик.

Кожен індекс масиву відповідає одній із комплексних характеристик, а значення цього індексу — допустимі значення оцінок характеристики (обчислені за відповідною шкалою).

Перетворювач М функціонує таким чином. Якщо кількість вимірюваних характеристик дорівнює розмірності масиву, то М просто здійснює вибір елемента масиву. Якщо ж кількість обчислюваних характеристик менша, ніж розмірність масиву, то перетворювач М функціонує таким чином.

Нехай задано набір значень характеристик, що визначаються індексами Реакцією перетворювача М за вхідних даних є такі три числа та , що де максимум і мінімум беруться за всіма допустимими значеннями а S — середнє значення (тобто математичне сподівання) по всіх допустимих значеннях. Числа та називають відповідно оптимістичним і песи­містичним рейтингами. У подальшому трійка ( S) може бути перетворена в те чи інше число відповідно до обраної методики.

Важливу роль у переході від системи S до перетворювача М відіграють методи прогнозування (як статистичні, так і експертні) та класифікація економічних об’єктів (кластерний аналіз).

32.Рейтинг – як засіб класифікації економічних об’єктів.

Сутність рейтингу полягає в оцінюванні позиції аналізованого об’єкта на обраній шкалі. Ця обставина однозначно визначає обчислення рейтингу як спеціальним чином деталізованого варіанта загальної проблеми класифікації економічних (соціально-економічних) об’єктів. Нехай U = {u₁, …, u_n} — універсальна множина вихідних показників. Область значень показника u_i(i = 1, …, n) позначимо через _a1_i і припустимо, що Нехай — фіксована скінченна множина методик обчислення рейтингу. Шкалу, обрану для методики , позначимо через Ш_a. Таким чином, методика реалізує відображення

Використаймо таку форму запису: Позначимо через розбиття множини А, що визначається таким чином: тоді і лише тоді, коли для будь-яких наборів справедливим є співвідношення Вважатимемо, що методики А та В : 1. — узгоджені, якщо 2. — суперечливі, якщо Фактор-множина (де — еквівалентність, що відповідає розбиттю ) визначає усі типи суперечностей між методиками, які належать до множини А та які виникають за обчислення рейтингу на множині . Верхній та нижній конуси підмножини позначимо, відповідно, через ВК(Х) та НК(Х).

33.Моделювання рейтингового оцінювання вищого навчального закладу. . Визначення рейтингу ВНЗ дає можливість з’ясувати певні наявні тенденції, прагнення, сподівання в системі вищої освіти, на тлі яких більш виразними стають досягнення та недоліки конкретних ВНЗ. Визначення рейтингу включає такі основні етапи:

1. збір, систематизація та аналітичне опрацювання інформації (статистичної, експертної) за обраний для аналізу період;

2. вибір та обґрунтування системи показників, що використовуються для обчислення рейтингової оцінки, їх структуризація;

3. розроблення методології, методики та інструментарію щодо обчислення інтегрованого показника рейтингової оцінки;

4. ранжирування об’єктів (елементів вибірки) згідно з кількісним значенням інтегрованого показника рейтингової оцінки для кожного з них.

Розглянемо модифіковане зважене середньогеометричне (мультиплікативний підхід) і визначати рейтингову оцінку за формулою: де — інтегрований кількісний показник якості освітніх послуг j-го ВНЗ, j = 1, …, m.

Якщо i-й показник має додатний інгредієнт (якщо прагнуть досягти його максимально можливого значення), то:

де І₁ — підмножина показників, які мають додатний інгредієнт; — мінімальне кількісне значення і-го показника у вибірці ВНЗ, ; — максимальне кількісне значення і-го показника у вибірці ВНЗ, Якщо ж і-й показник має від’ємний інгредієнт, тобто коли прагнуть досягти його мінімально можливого значення, то:

Відносна перевага (вагомість) різних кількісних та якісних деталізованих критеріїв (показників) визначається окремо для кожного показника (елементу) ієрархічної структури з погляду елементу, який міститься на безпосередньо вищому рівні ієрархії. Узагальнений алгоритм методу аналізу ієрархій складається з таких кроків: 1Формування багаторівневої ієрархічної структури, котра містить на верхньому рівні інтегрований показник 2Побудова матриць попарних порівнянь елементів ієрархічної структури 3Обчислення значень вагових коефіцієнтів (векторів) кожного з елементів ієрархічної структури (окрім інтегрованого) з погляду елементу, який розташований на безпосередньо вищому рівні ієрархії 4Обчислення вектора вагових коефіцієнтів деталізованих показників якості освітніх послуг, які розташовані на найниж­чому рівні ієрархічної структури з погляду інтегрованого показника, 5Обчислення інтегрованого показника рейтингового оцінювання конкретного ВНЗ, тобто значень j = 1, …, m, згідно з якими здійснюється впорядкування об’єктів досліджуваної множини. Під час формування ієрархічної структури проводиться декомпозиція показників якості (рейтингового оцінювання) з використанням інтегрованого показника рейтингової оцінки, груп показників, підгруп, різних критеріальних функцій.

Загальна схема експертного оцінювання включає такі основні етапи:

• добір експертів і формування експертних груп;

• формування запитань і складання анкет;

• формування правил визначення сумарних оцінок на основі висновків окремих експертів;

• аналіз і опрацювання експертних оцінок.

36.Побудова математичної моделі фірми. Моделі оптимального (раціонального) вибору виробника (фірми). Нехай виробнича фірма випускає один продукт (чи багато продуктів, але з постійною структурою). Позначимо річний випуск у натурально-речовiй формі через Х – кількість одиниць продукту одного виду, вектор-стовпчик можливих обсягів різних видів ресурсів через х = (х₁, ..., х_n)′. Тоді технологія фірми визначатиметься її виробничою функцією, яка виражає зв'язок між випуском i витратами ресурсів: Х=F(х). Припускається, що F(х) двiчi неперервно диференційована, неокласична, i матриця її других похідних є вiд’ємно визначеною. Якщо – вектор-рядок цін ресурсів, а р – ціна продукції, то кожному вектору витрат х вiдповiдає прибуток: (3.1)

У (3.1) – вартість річного випуску фірми, або її річний дохід, – витрати виробництва чи вартість витрат ресурсів за рік.Якщо не вводити інших обмежень, крім невід’ємних обсягів витрат ресурсів, то задача знаходження максимуму прибутку набере вигляду: (3.2)Це задача нелiнiйного програмування з n умовами невід’ємності: Необхідними умовами існування екстремуму є умови Куна-Таккера: (3.3) Якщо в оптимальному розв’язку використовуються всi види ресурсів, тобто , то умови (3.3) матимуть вигляд: (3.4) тобто в оптимальній точці вартість граничного продукту даного ресурсу повинна дорівнювати його цiнi. Розглянемо задачу знаходження максимуму випуску за заданого обсягу витрат (3.5)Це задача нелiнiйного програмування з одним лiнiйним обмеженням i умовою невiд’ємностi змінних. Побудуємо функцію Лагранжа

і знайдемо її максимум за умови невiд’ємностi змiнних. Для цього необхідно, щоб виконувались умови Куна-Таккера:

(3.6) Як бачимо, якщо покласти , умови (3.6) збiгаються з умовами (3.3).

39.Функція корисності споживача. У теорії споживання припускаються гіпотези і вважається, що функція корисності має такі властивості:

1)  — зі зростанням споживання блага корисність зростає;

2)  — невеликий приріст блага за його початкової відсутності різко збільшує корисність;

3)  — зі зростанням споживання блага швидкість зростання корисності зменшується (спадає);

4)  — коли є дуже великий обсяг блага, його подальше зростання не приводить до зростання корисності.

Умова 3 зазвичай використовується у більш широкому трактуванні — як матриця других похідних (матриця Гессе) і є від’ємно визначеною.

Гранична корисність товару показує, на скільки зростає корисність, якщо кількість товару зростає в малому обсязі. Поверхнею байдужості називають гіперповерхню розмірністю (n – 1), на якій корисність постійна: або має диференційовану форму: (7.1)

Умова (7.1) означає, що дотична до поверхні байдужості перпендикулярна градієнтові корисності. Це означає (з погляду споживача) можливість заміни одного товару певною кількістю іншого (рівноцінного) товару. Нехай в (7.1) dx_i = 0 для i = 3, …, n, тоді це співвідношення має вигляд:

Звідси (7.2) тобто гранична норма заміщення першого товару другим дорівнює відношенню граничної корисності першого та другого товарів. Норма заміщення показує, скільки необхідно одиниць другого товару, щоб замінити малий обсяг першого товару, який вибув. Бюджетною множиною називають множину тих наборів товарів, які може придбати споживач, маючи дохід обсягом M:

де p = (p₁, …, p_n) — вектор-рядок цін.