- •1.Лінійні операції над векторами та їх властивості. Скалярний добуток векторів його властивості та застосування.
- •Афінна система координат. Координати точок. Знаходження координат вектора
- •Полярна система координат. Перехід від полярної до прямокутної системи координат і навпаки
- •3. Пряма лінія в афінній системі координат
- •4. Рівняння площини в афінній системі координат
- •5. Пряма лінія у просторі
- •Взаємне розташування двох прямих у просторі
- •Взаємне розташування прямої і площини
- •6. Метричні задачі на пряму і площину
- •Гіпербола.
- •8.Еліпсоїд, гіперболоїди, параболоїди. Дослідження їх форм методом перерізів, їх побудова.
- •9. Циліндричні та канонічні поверхні, їх властивості. Класифіфкація поверхонь 2-го порядку.
- •10. Рух 1 і 2 роду. Класифікація рухів площини та їх аналітичне задання. Групи рухів та їх підгрупи.
- •11. Перетворення подібності. Гомотетія. Аналітичне задання подібності. Група подібності та її властивості.
- •12. Група афінних перетворень площини і її підгрупи.
- •13. «Начала» Евкліді. Проблема 5-го постулату. Огляд аксіоматики гільберта евклідової геометрії.
- •1. Аксіоми належності та наслідки з них :
- •2. Аксіоми порядку і деякі наслідки:
- •5. Аксіома паралельності (Плейфера).
- •14. Аксіоматика Вейля. Доведення несуперечності та повноти аксіоматики Вейля.
- •15. Геометрія Лобачевского. Основні факти. Несуперечливість системи аксіом площини Лобачевского незалежність V постулату.
- •16. Різні види рівняння кривої у просторі. Тригранник Френе.
- •17. Кривина та скрут просторової кривої. Формули Френе.
- •18. Поверхні в евклідовому просторі. Криволінійні координати на поверхні. Дотична площина і нормаль поверхні.
- •19. Перша та друга квадратичні форми поверхні та їх застосування.
- •20. Топологічні простори та їх основні властивості. Приклади. Предмет топології.
- •21.Ейлерова характеристика поверхні.Орієнтовні та неорієнтовні двовимірні многовиди. Рід многовида та число його контурів
- •22. Існування 5 типів правильних многогранників. Топологічна класифікація многогранників
5. Аксіома паралельності (Плейфера).
ч\з т-ку поза прямою можна провести не > 1-ї прямої, яка || даній.
Вимоги, які пред’являються до с-ми аксіом: 1) несуперечливість; 2)повнота; 3) незалежність.
для д-ня несуперечливості аксіоматики Гілберта використ. Модель (інтерпретація) даної с-ми аксіом.
Для побудови інтерпретації: складають інтерпр. Словник (осн. Терміни, первісні. Неозн. від-ня). Н-д, т-ка, пряма і пл.-на. Від-ня: належить, лежати між… Побудуємо арифм. Модель – ідея ккорд. (аналітичн)м-ду. В арифм. М-лі словник такий: т-ка, пряма. Т-ка М – впорядкована пара ч-л (Х,У), пряма – мн-на т-к, що задов. Дане р-ня ах+bу. Пряма – відн-ня 3 ч-л. відн-ня інцендентносі: лежати між, конгр.: 2 різні т-ки визн. 1 пряму. Перевіримо виконуваність 1 і 2 аксіом інц.: А1(х1у1) і А2(х2у2) визн. 1 пряму. Р-ня прямої за 2 т-ми:х-х1/x2-x1 =y-y1/y2-y1. кардин. 5 аксіома є еквівал. V постулату: пряма ax+by+c+0 і А(х0у0). Аксіома ств., що ч\з т-ку поза прямою можна провести || пряму до заданої і тільки 1-ну. Зн. Р-ня прямої, що міст. А і || до l.: х-х0/α=y-y0/β(р-ня !).Аксіоматика – несуперечлива.
14. Аксіоматика Вейля. Доведення несуперечності та повноти аксіоматики Вейля.
С-ма аксіом Вейля склад. з 17 аксіом. Основними обєктами є точки і вектори. Пара точок визначає вектор. Основні віднош.: 1. Сума двох векторів, 2.Множення вектора на скаляр, 3.Скалярний добуток двох векторів. 4. Належність пари точок і вектора.
Є 5 груп аксіом:
I. Аксіоми додавання векторів: II. Аксіоми множення вектора на число:
Аксіоми лінійного векторного простору.
III. Аксіоми розмірності
1. Існує базис 3-вимір. простору (3-ка ЛНЗ векторів , , )
2. Будь-який вектор з геом.. точки зору розклад. за базисними і притому єдиним чином.
IV. Аксіоми скалярного добутку
∙ = ∙ (комутативність).
(α )· =α ( · ) (скаляр. множник можна винос. за знак скаляр. добутку).
( + )· =( · )+( · ) (дистрибутивність).
( )= 2>0
V. Аксіоми належності.
Існує принаймні 1 точка простору.
Для
- аксіома трикутника.
Будь-який вектор можна розкласти на базисний.
Аксіоматика Вейля несуперечлива.
15. Геометрія Лобачевского. Основні факти. Несуперечливість системи аксіом площини Лобачевского незалежність V постулату.
Геометрія побудована на I - IV групах абсолютної геометрії + V група || Лобачевского.
Аксіома паралельності: через точку поза даною прямою можна провести принаймні дві прямі, що не перетинають дану. Далі він базується на абсолютній геометрії.
Т-ма1: В будь-якому трикутнику сума внутрішніх кутів менша 1800. Дов-ня: виходить з Т. Саккері-Лежандра: сума кутів трик-ка <=1800. Прип., що =1800, але це тв-ня еквівалентне 5-му постулату, але у нас заперечення цього постулату, отже протиріччя, тому <1800.
Т-ма2: В будь-якому чотирикутнику сума внутрішніх кутів менша 3600
Т-ма3: Сума кутів трикутника для всіх трикутників не є величина постійна.
В геом.. Лобач. Немає понятта подіб. Трикутників, а тільки поняття рівності. Як відомо з Евклідової геом.. є 3-и ознаки конгруентності трикутників. Має місце 4-та ознака конгруентності за трьома кутами.
Теор.4. Якщо 3-и кути одного три кут. відповід. рівні 3-м кутам другого трикутника, то ці трикутники рівні.
Доведення:
Нехай в три кут-ах АВС і A’B’C’ ﮮА=ﮮ A’, ﮮВ=ﮮ В’, ﮮС=ﮮ С’. Довед. споч., що АВ=A’B’. Припустимо АВ≠A’B’; для визначен. допустимо, що АВ>A’B’. На променях АВ та АС візьмемо точки В’’ і С’’ так, щоб АВ’’= A’B’ і АС’’= A’С’ (мал.1). За першою ознакою рівності три-ів маємо ΔАВ’’С’’=ΔA’B’C’, тому ﮮ1= ﮮ2. За умовою ﮮ2= ﮮ3, отже, ﮮ1= ﮮ3. Аналог. ﮮ4= ﮮ6.
За припущ. АВ> A’B’, тому А—В’’—В, тобто пряма В’’С’’ перетин. сторону АВ ΔАВС.Так як ﮮ1=ﮮ3 прямі В’’С’’ і ВС не перетин., то за аксіомою Паша пряма В’’С’’ перет. сторону АС ΔАВС, та означ. А —С’’—С. Звідси слідує, що чотири кут. ВВ’’С’’С випуклий. З рівності ﮮ4=ﮮ6 і ﮮ1=ﮮ3 випливає, що сума кутів цього чотирикут. =4d. Прийшю до супереч. З теор2. Значить АВ=A’B’. За другою ознак. три-ів ΔАВС=ΔA’B’C’.
В геометрії Лобачевского все що було подібним стало конгруентним.
Система аксіом несуперечлива, якщо існує її інтерпретація, тобто система об’єктів і відношень між ними, на яких виконуються всі аксіоми. Інтерпретація Пуанкаре на евклідовій площині. Розглянемо деяку пряму і дві півплощини. Розглянемо одну з півплощин. Складемо інтерпретаційний словник: 1). Точка – будь-яка точка вказаної півплощини 2).u - Пряма –велике півколо з центром на границі без кінців. 3).Відн-ня інцед-ті – в звичайному евклідовому розумінні (належність).
І. Досить легко переконатися, що всі аксіоми інцедентності виконуються: напр.дві точки визначають одну і тільки одну пряму і т.д. ІІ. аксіоми порядку 4). Точка В лежить між точками А і С на прямій l тоді і тільки тоді коли В лежить між А іС на півколі, на промені. ІІІ. Фігура Ф1 конгруентна фігурі Ф2, якщо одну фігуру можна перевести в іншу за допомогою скінченого числа інверсій на границі. ІV. Аксіома неперервності. Легко перевірити, встановивши бієкцію між точками прямої u та точками звичайної евклідової прямої. Побудова: паралельно вправо: N – кінець „півкола” тобто прямої, кінець не належить т.А поза u, N-справа, M-зліва, отже через А і N – а1-паралельна вправо, через А і М – а2- паралельно вліво до u.
Планіметрія Лобачевского несуперечлива, якщо несуперечлива планіметрія Евкліда.