1. Потужність множини. Зчисленні множини та їх властивості. Множини n, z, q, r та їхні потужності.

Ф-я f:XY наз. ін'єктивним відобр., якщо для кожн. пари точок (x1,x2)ЄX з того, що x1 x2 виплив. що f(x1) f(x2)/

Відобр. f наз. сюр'єктивним, якщо для уЄУ хЄХ: f(x)=y.

Відобр. наз. бієкт., якщо воно інєкт. і сюрєкт.

Озн1.Мн.Х,У наз.еквівал-ми між собою, якщо хоча б одне бієктивне відоб-ня мн.Х на мн.У. Для них є 3 власт:рефлекс,симетр,транз.

Озн2.ЯкщоМн.Х,У еквівал-ні між собою,то вони мають однакову потужн. cardX=cardY.

Озн3. Мн.Х наз.зчисл.мн, якщо вона є еквів-ою мн.N,тобто якщо всі ел-ти мн.Х можна занумерувати в одну нескінч.посл-ть. Зчисл.мн.є нескінч. Множини N, Z, Q – зчисленні, а множина R – незчисленна.

Озн4.Нескінч.мн.наз.незчисл., якщо вона має > потуж-ть ніж мн.натур.чисел. Власт.зчисл.мн: 1. Нескінч. підмножина зчисленної мн-ни є зчисл. мн-на 2. Скінченне обєднання зчисл. мн-н є мн-на зчисленна. (Ел-ти можна пронумерув. діагон. спос.) 3. Зчисл. обєднання скінч. мн-н є множиною або скінченною, або зчисленною. 4. Зчисленне обєднання зчисленних множин є множина зчисленна.

1.Мн-на натур. ч-л зчисленна за власт. еквіваленції N ~ N.

2. М-на цілих ч-л зчисленна Z ~ N.

Озн5. Нехай Z є рац.числом, Z=m/n, m-ціле,n-натур., причому цей дріб можна вважати нескоротним. Висотою рац.числа r наз.число,яке познач. h(r),h(r)=|m|+n. Пр-д: h(7/3)=10.

Дов. Занумеруємо всі цілі числа в одну нескінч. посл-сть: на 1 місце став. 0, на 2-ге 1, на 3-тє -1, на 4-те 2, на 5-те -2…Отже, Z зчисл.

3. Теорема1. Мн.рац.чисел Q є зчисл.мн-ю.

Дов-ня:Q={k/n, nЄN, kЄZ}, h=|k|+n –висота рац. ч-ла. Ap- мн-на рац. ч-л, які мають висоту р. Q- зчисленне об'єднання скінч. мн-н. За теор., вона скінченна, або зчисленна. Q нескінченна, отже зчисленна.

Озн6. Потуж-ть континууму наз.пот-ть мн.всіх дійсних чисел. cardR=C.

Теорема2. Потуж-ть континууму є строго >,ніж потуж-ть зчисл.мн.

Дов-ня. Потуж-ть конт-му не може бути <, ніж потуж-ть зчисл.мн.Тому дов-мо,що ці 2 потуж-ті між собою не співпадають.Дов-мо від супротив.Припуст,що ці 2 потуж-ті співпадуть,тоді потуж-ть від-ка [0;1],та пот-ть зчисл.мн.однакові.Тому існує хоча б одне бієктивне від-ня від-ка [0;1] на мн.натур.чисел.Або всі дійсні числа один.від-ка можна занумерувати в нескінч.посл-ті.Випишемо,[0;1]={x₁, x₂, x₃…},у є[0;1]

Розгл. десяткове розкладання чисел посл-ті.

x₁=0,а₁₁ а₁₂ а₁₃...

x₂=0,а₂₁ а₂₂ а₂₃...

x₃=0,а₃₁ а₃₂ а₃₃...

у=0,b₁ b₂ b₃... Числа десятк.розклад.будемо спец.чином підбирати.Споч.підбираємо

b₁= 1,якщо а₁₁ ≠1

0,якщо а₁₁ =1

b_{2 =} 1,якщо а₂₂ ≠1

0,якщо а₂₂ =1

b_{3 =} 1,якщо а₃₃ ≠1

0,якщо а₃₃ =1.На n-ому кроці обираємо цифру b_n за таким правилом.

b_n = 1,якщо а_nn ≠1

0,якщо а_nn =1.Після b_n не зупиняємося, а продовж. процес побудови нових чисел до нескінч. Т.ч.ми задали дійсне число його за десятковим розкл. у, один. від-ка. Порівняємо число у з x_1. Вони неоднакові, тому що 1-ша цифра після коми у них різна. Порівняємо число у з x_2. У них різною є 2-га цифра після коми і т.д. Отже число у не співпадає з жодним числом посл-ті. Цей факт суперечить припущ.що в цій посл-ті були вписані всі числа один.від-ка.Це невірне припущ. Дов-но.