8.Еліпсоїд, гіперболоїди, параболоїди. Дослідження їх форм методом перерізів, їх побудова.

Еліпсоїдом наз. поверхня, яка в деякій прямок.й с-мі коор. визначається р-ням: (22)

Дослідимо форму еліпсоїда і побуд. його:

1. Так як x, y, z, входять в р-ня (22) тільки в парних степенях, то еліпсоїд симетрич. відносно коор. площин, осей і почат. координат. Центр симетрії еліпсоїда наз. центром еліпсоїда, а вісі симетрії – його осями.

Точки перетину еліпсоїда з осями координат: А₁(а,0,0); А₂(-а,0,0); В₁(0,b,0); В₂(0,-b,0); С₁(0,0,с); С₂(0,0,-с) наз. вершинами еліпсоїда.

2. Із р-ня (1) маємо: . Аналогічно для y і z: і Отже, всі точки еліпсоїда лежать всередині прямокутного паралелепіпеда із сторонами 2а, 2b, 2с (крім вершин), з центром в точці О.

3. Розг. перерізи еліпсоїда координат. площинами і площинами, || до них.

Площина XOY і паралельні до неї площини мають р-ня z=h.

В перетині еліпсоїда з такими площинами отримаємо або .

Можливі три випадки:

1).  h < c, тоді маємо   – еліпс. При зменшенні  h  піввісі більшуються і коли h=0, одержуємо еліпс в площині XOY..

2).  h = c, то одержуємо – дві уявні прямі, що перетинаються в дійсних точках С₁(0,0,с); С₂(0,0,-с).

3).  h > c, то одержуємо рівняння уявного еліпса, отже в цьому випад. площина z=h з еліпсоїдом не має спільних точок.

Повністю аналогічно розглядаються перерізи еліпсоїда площинами x=h і y=h . Побудувавши еліпси в координатних площинах, отримаємо зображення еліпсоїда (рис.19).

Відмітимо, що якщо в р-ні (22) а,b,с – різні, то еліпсоїд наз. трьохвісним, а якщо які-небудь дві із півосей рівні, наприклад а=с, то в перетині з площинами y=h, де  h < b, отримаємо кола (рис.20).

В цьому випадку еліпсоїд можна одержати обертанням еліпса навколо осі OY. Такий еліпсоїд наз. еліпсоїдом обертання. Якщо ж в р-ні (22) а=b=с, то отримаємо сферу радіуса а.

Однопорожнинним гіперболоїдом наз. поверхня, яка в деякій прямокутній с-мі коор. визначається р-ням: (24)

Оскільки змінні входять в р-ня (24) тільки в парних степенях, то однопорожнинний гіперболоїд симетричний відносно всіх координатних площин, осей і початку с-ми коор.

Дві вісі OX і OY перетин. Одно порожнин. гіперболоїд. Вони наз. дійсними, а вісь OZ не перетинає його, тому наз. уявною. Точки перетину поверхні з координатними осями наз. вершинами.

Дослід. форму одно порожнин. гіперболоїда методом перерізів і побуд. його.

1). Розгул. перерізи одно порожнин. гіперболоїда площиною YOZ і || до неї площинами. Їх р-ня x=k. В перетині отрим.:

.

Можливі три випадки:

а) якщо  k < a то маємо гіперболу з асимптотами (з дійсною віссю, яка || до осі OY),

b) якщо  k = a – одержуємо пару прямих, що перетинаються,

c) якщо  k > a – одержуємо гіперболу з дійсною віссю, яка || до вісі OZ).

Якщо k=0 – одержуємо гіперболу в площині YOZ, яку і будуємо (рис. 22).

2). Повністю аналогічні до попереднього перерізи отримуються в перетині одно порожнин. гіперболоїда площиною XOZ і || до неї площинами: y=m.

3). Розглянемо перерізи одно порожнин. гіперболоїда площиною XOY і || до неї площинами. В перетині отримаємо:

- еліпс.

Якщо h=0, то одерж., горловий еліпс: . При зростанні  h піввісі еліпса необмежено збільшуються разом із еліпсом. побудуємо горловий еліпс, та пару еліпсів в площинах паралельних до XOY (на однаковій відстані до неї) (рис.22).

Якщо a=b, то отримаємо р-ня у вигляді: . Це одно порожнин. гіперболоїд обертання. Його можна отрим. обертанням гіперболи : навколо вісі OZ.

Всі асимптоти одно порожнин. гіперболоїда проходять через т.О і задовольняють р-ня: , тобто належать конусу, який наз. асимптотичним конусом однопорожнинного гіперболоїда.

Двопорожнинним гіперболоїдом наз. поверхня, яка в деякій прямокут. с-мі коор.має р-ня: (25)

Оскільки змінні x,y,z входять в р-ня (25) тільки в парних степенях, то двопорожнин. гіперболоїд симетрич. відносно всіх коор. площин, осей і поч.. с-ми коор.

Вісі OX і OY не перетин. двопорожнин. гіперболоїд. Вони наз. уявними, а вісь OZ перетин. його в точках . які наз. вершинами. Вісь OZ наз. дійсною.

Дослідимо форму двопорожнин. гіперболоїда методом перерізів і побуд. його.

1). Розглянемо перерізи двопорожнин. гіперболоїда площиною XOY і || до неї площинами:

.

Можливі три випадки:

a). Якщо h < c то в перетині – порожня множина.

b). Якщо h = c то отримаємо , тобто маємо точки .

c). Якщо h > c то маємо еліпс, який збільшується з ростом  h.

2). В площині YOZ і || до неї площинах отримаємо: або це гіпербола з віссю || до OZ. Побуд. її в площині YOZ (рис.23).

3). В площині XOZ і || до неї площинах маємо:

– гіпербола з віссю || до OZ. Побуд. її в площині XOZ (рис.23).

Якщо в р-ні (25) а=b, то поверхня наз. Двопорожнин.гіперболоїдом обертання. Його можна одержати обертанням гіперболи , яка знаходиться в площині XOZ навколо вісі OZ.

Еліптичним параболоїдом наз. поверхня, яка в деякі прямокутній с-мі коор.т має р-ня: (26)

Так як в р-ня (26) змінні x I y входять в парній степені, а z в непарній степені, то еліптичний параболоїд симетричний відносно площин XOZ і YOZ та вісі OZ. Відносно інших координатних осей і площини XOY він не симетричний. Т.О(0,0,0) належить еліптичному параболоїду і наз. вершиною.

Дослідимо форму еліптичного параболоїда методом перерізів і побуд. його.

1 ). Розглянемо перерізи еліптичного параболоїда площиною XOY і || до неї площинами:

. Отримаємо:

1. Якщо h<0 – порожня множина.

2. Якщо h=0 – точка О(0,0,0).

3. Якщо h>0 – еліпс.

2). В площині YOZ і || до неї площинах отримаємо:

це парабола з віссю, яка || до вісі OZ (якщо k=0, то парабола з віссю OZ і з вершиною в точці О(0,0,0). Її і будуємо (рис.24)).

3). В площині XOZ і || до неї площинах отримаємо параболу (повністю аналогічно до попереднього) (рис.24).

Якщо в р-ні (26) a=b, то отримаємо параболоїд обертання (навколо вісі OZ).

Гіперболічним параболоїдом наз. поверхня, яка в деякі прямокутній с-мі коор. визначається р-ням: (27)

Так як в р-ня (27) змінні x I y входять в парній степені, а z в непарній степені, то гіперболічний параболоїд симетрич. відносно площин XOZ і YOZ та вісі OZ. Відносно інших координат.х осей і площини XOY він не симетрич.. Т.О(0,0,0) належить гіперболічному параболоїду і наз. вершиною.

Дослідимо форму гіперболічного параболоїда методом перерізів і побуд. його.

1 ). Розглянемо перерізи гіперболічного параболоїда площиною XOY і || до неї площинами:

.

Можливі три випадки:

a). Якщо h=0, то в перетині отрима. пару прямих, що перетин. в т.О(0,0,0).

b). Якщо h>0, то отрим. гіперболу з віссю, яка || до вісі OX.

c). Якщо h<0, то маємо гіперболу з віссю, яка || до вісі OY.

2). В площині YOZ і || до неї площинах отримаємо

– параболу з віссю || до вісі OZ (вітки направлені вниз) (рис. 25).

3). В перетині гіперболічного параболоїда з площиною XOZ і || до неї площинами також отрим. параболу з віссю || до вісі OZ (вітки направлені вверх):

. (рис. 25)