- •Квантовая физика.
- •Распределение энергии в спектре ачт.
- •Гипотеза и формула Планка.
- •2) Для элементарных процессов взаимодействия частиц применимы законы сохранения импульса и энергии.
- •Ядерная модель атома.
- •Постулаты Бора:
- •Атом водорода и водородоподобные атомы (впа) по теории Бора.
- •Корпускулярно-волновой дуализм материи. Гипотеза и формула де Бройля.
- •Принцип неопределенности Гейзенберга.
- •1). Входит ли электрон в состав атомного ядра?
- •Уравнение Шрёдингера.
- •Гармонический осциллятор.
- •Частица в одномерной потенциальной яме (ящике)
- •Электрон в атоме водорода в основном состоянии.
- •Описывается с помощью 4-х квантовых чисел: n, l, m, ms.
- •Принцип Паули. Периодическая система элементов.
- •Элементы квантовой статистики и физики твердого тела.
- •Сверхтекучесть.
- •Сверхпроводимость.
- •Температурная зависимость сопротивления различных веществ.
- •Собственные полупроводники.
- •Контакт р - и n - полупроводников.
- •105 - 104 См, для металлов порядка 108 см.
Гармонический осциллятор.
В классической физике гармоническим осциллятором называют частицу, совершающую движения по закону синуса или косинуса. Потенциальная энергия такой частицы U = кх2/2, частота колебаний . Посмотрим, к каким результатам приведет решение уравнения Шрёдингера (), если его применить к одномерной частице, которая обладает такой потенциальной энергией.
|
уравнение Шрёдингера для гармонического осциллятора Т.к. случай одномерный, оператор Лапласа =d2 / dx2, потенциальная энергияU = кх2/2. |
Мы не приводим решение этого уравнения, т.к. оно выходит далеко за рамки курса. xv Из решения следует, что полная энергия Е такого осциллятора квантуется:
|
Полная энергия квантового осциллятора n = 0, 1, 2,…, |
при n = 0 |
Эта величина называется нулевой энергией осциллятора. |
даже при абсолютном нуле (Т= 0 К) частица имеет энергию 0.
На рис. показаны плотности вероятности при различных энергиях Е осциллятора. Если мы спросим себя, а как ведет себя частица, ведь нам всегда хочется наглядно представить процессы. Ответ – не знаем, ведь квантовый объект имеет двойственную природу. Мы можем только сказать, что частица находится в потенциальной яме, имеет определенный набор энергий и, если ее энергия равна, например Е1, то вероятность обнаружить ее в середине ямы равна нулю. При переходе на другой уровень энергия частицы меняется дискретно, и система поглощает или испускает порцию энергии h.
Существование нулевой энергии следует также из соотношения неопределенности. Действительно.
|
соотношение неопределенностей |
|
х А |
неопределенность в координате примем равной амплитуде А колебаний |
|
р р = mv = m А |
неопределенность в импульсе примем равной самому импульсу; максимальная скорость колебаний v = А |
|
|
Е максимальная энергия гармонических колебаний (Е = кх2/2, ) |
Таким образом, из соотношения неопределенностей следует, что энергия осциллятора равна .
Частица в одномерной потенциальной яме (ящике)
Рассмотрим частицу с массой m, находящуюся в потенциальной яме, например, электрон в металле. Чтобы иметь возможность решить уравнение Шрёдингера введем следующие упрощения.
1 ).Частица находится в прямоугольной потенциальной яме, внутри ямы потенциальная энергия U постоянна, примем ее равной нулю = 0. Высота стенок ямы , т.е. частица не может выйти из ямы (см.рис.).
2). Частица может двигаться только по оси х в пределах ширины ямы а, т.е. 0 х а (одномерная задача).
Запишем уравнение Шрёдингера для частицы в виде:
|
Уравнение Шрёдингера для частицы в прямоугольной потенциальной яме |
При решении этого уравнения нам нужно найти пси-функцию (х) и энергию Е частицы. По форме - это уравнение колебаний. Из математики известно, что решение такого дифференциального уравненияимеет вид: . Для нахождения коэффициентов А и В используем краевое условие , смысл которого в том, что частица не может выйти из ямы.
|
Отсюда следует: , т.к. sin 0 = 0, а cos 0 = 1 0, то В = 0 |
Таким образом, получаем:
|
Решение уравнения (). Здесь неизвестными пока остаются А и . |
Величину найдем из второго краевого условия
|
А 0, следовательно, sina = 0, и значит a = n , где n- -целые числа. Отсюда получаем . |
Вторую неизвестную величину А найдем из условия нормировки.
|
Смысл этого условия в том, что частица обязательно находится в пределах ширины ямы 0 а, следовательно, вероятность этого события равна 1. |
Выразим плотность вероятности , используя пси-функцию (), подставим , и найдем интеграл. Учтем, что из тригонометрии: 2sin2 = 1 cos2 .
|
Учитывая, что интеграл равен 1, получим выражение для А:
|
Зная А и , найдем окончательный вид решения:
|
Пси-функция для частицы в одномерной прямоугольной яме, физического смысла не имеет. |
|
Плотность вероятности для частицы в одномерной яме определяет вероятность нахождения частицы на единичном отрезке ямы |
Теперь осталось найти выражение для энергии электрона. Для этого нужно найти вторую производную пси-функции и подставить в уравнение . Получим:
|
энергия частицы в одномерной потенциальной яме, |
На рис. показаны энергетические уровни частицы, пси-функция и плотность вероятности для первых трех квантовых состояний. Площади под кривыми плотности вероятности представляют собой вероятности, т.к. .
Что можно сказать о поведении частицы? В зависимости от того, какова ее энергия, вероятность обнаружить частицу различная. Например, при наименьшей энергии Е1 частица пребывает в основном в середине ямы, а при энергии Е2 вероятность обнаружить частицу в середине ямы равна нулю.