Теория доказательства Демпстера-Шафера

Одним из ограничений вероятностных под­ходов к неопределенности является то, что они используют единственную количествен­ную меру, вычисление которой может оказаться очень сложной задачей.

Альтернативный подход, называемый теорией обоснования Демпстера-Шафера, рассматривает множества предположений и ставит в соответствие каждому из них веро­ятностный интервал доверия (правдоподобия), которому должна принадлежать степень уверенности в каждом предположении. Мера доверия обозначается bel и изменяется от нуля, что указывает на отсутствие свидетельств в пользу множества предположений, до единицы, означающей определенность. Мера правдоподобия предположения р - pl(p) определяется следующим образом:

pl(p) = 1 – bel(not(p)).

Таким образом, правдоподобие также изменяется от нуля до единицы и вычисляется на основе меры доверия предположению not(p). Если not(p) вполне обоснованно, то bel(not(p))= 1, a pl(p) равно 0. Единственно возможным значением для bel(p) также является нуль.

Предположим, что существуют две конкурирующие гипотезы hi и h₂. При отсутствии информации, поддерживающей эти гипотезы, мера доверия и правдоподобия каждой из них принадлежат отрезку [ 0; 1 ]. По мере накопления информации эти интервалы будут уменьшаться, а доверие гипотезам — увеличиваться.

Подход Демпстера-Шафера решает проблему измерения достоверности, делая коренное различие между отсутствием уверенности и незнанием.

В теории вероятностей мы вынуждены выражать степень нашего знания о гипотезе h единственным числом P(h). Проблема такого подхода, по мнению Демпстера-Шафера, заключается в том, что мы просто не всегда можем знать значения вероятностей, и поэтому не любой выбор P(h) может быть обоснован.

Функция доверия Демпстера-Шафера сводится к теории вероятности, если все вероятности известны. Функции доверия позволяют использовать имеющиеся знания для ограничения вероят­ностей событий при отсутствии точных значений вероятностей.

Теория Демпстера-Шафера основана на двух идеях. Первая— получение степени доверия для данной задачи из субъективных свидетельств о связанных с ней проблемах, и вторая — использование правила объединения свидетельств, если они основаны на не­зависимых атомах. Это правило объединения первоначально было предложено Демпстером [Dempster, 1968].

Пример.

Рассмотрим субъективные вероятности правдивости свидетельств

1. Админ Саша:

Вероятность того, что ему можно верить, составляет 0,9, а того,

что верить нель­зя — 0,1.

Он говорит, что “жесткий диск испорчен”.

Админ Дима

Вероятность того, что ему можно верить, составляет 0,8, а того,

что верить нель­зя — 0,2.

Он говорит, что “жесткий диск испорчен”.

Мнения Саши и Димы независимы друг от друга.

Это утвержде­ние истинно, если Саше можно верить, но оно не обязательно ложно, если ему верить нельзя. Утверждение Саши, что жесткий диск испорчен, обосновы­вается с достоверностью 0,9, а то, что он исправен — с достоверностью 0,0. Достовер­ность 0,0 не означает уверенности в том, что жесткий диск не испорчен, как это означала бы вероятность 0,0. Просто утверждение Саши не дает причин ве­рить, что жесткий диск испорчен. Мера правдоподобия pi в этой ситуации равна

рl(жесткий диск испорчен) =1 - bel(not(жесткий диск испорчен))=1 - 0,0 =1,0

Наша мера доверия Саше есть [0,9; 1,0].

Заметим, что еще нет оснований считать, что жесткий диск испорчен.

Вероятность одновременной “правдивости” Саши и Димы 0,9*0,8=0,72

одновременной “лживости” Саши и Димы 0,1*0,2=0,02

Вероятность того, что можно верить хотя бы одному из них 1-0,02 = 0,98.

Так, как оба они говорят, что “жесткий диск испорчен”, и вероятность того, что по крайней мере один из них заслуживает до­верия, равна 0,98, можно установить

степень достоверности события [0,98;1,0]

2. Рассмотрим случай противоречивости свидетельств

Админ Саша: “жесткий диск испорчен”.

Админ Дима “жесткий диск не испорчен”.

Либо обоим им нельзя верить, либо нельзя верить одному из них.

Априорная вероятность того, что мож­но верить лишь Саше, составляет

0,9*(1 - 0,8) = 0,18

того, что верить можно только Диме, — 0,8*(1 - 0,9) = 0,08,

ни одному из них верить нельзя, — 0,2*0,1 = 0,02.

Имея вероятность того, что по крайней мере одному из админов верить нельзя

(0,18 + 0,08 + 0,02) = 0,28,

можно вычислить апостериорную вероятность того, что верить можно лишь Саше, и “жесткий диск испорчен”.— 0,18/0,28 = 0,643;

или апостериорную вероятность того, что прав лишь Дима, и “жесткий диск не испорчен”.— 0,08/0,28 = 0,286.

Правдоподобие поломки

рl(жесткий диск испорчен) =1 - bel(not(жесткий диск испорчен))=1 - 0,286 =0,714

мера доверия принадлежит интервалу [0,28 ; 0,714]