7.2. Приклади розв’язання задач

1. Функція попиту та функція граничних витрат для монополіста наступні: P = 1000 – 2Q, MC = 10 + 0,5Q.

1. Визначити ціну та обсяг виробництва при яких фірма отримує максимальний прибуток.

2. Якщо держава встановить верхню межу ціни, то якою повинна бути максимальна ціна, яка не буде створювати дефіцит на ринку.

Розв’язання

1. Умова максимізації прибутку MR = МС.

2. Найнижча ціна, яка не буде створювати дефіцит на ринку, визначається перетинанням функції попиту та функції граничних витрат: Р=МС:

Відповідь: 1) обсяг виробництва 220 шт. при ціні 560 дол.; 2) 208 дол.

2. Фірма виробляє іграшки (тис.шт. на рік) і діє на ринку монополістичної конкуренції. Граничний дохід цієї фірми описується рівнянням MR=20 - 2Q, її граничні витрати в довгостроковому періоді (на зростаючому відрізку) - формулою МС = 3Q - 10. Якщо мінімальне значення довгострокових середніх витрат (АС) складає 11, то яким буде надлишок виробничих потужностей у цієї фірми?

Розв’язання

Обсяг виробництва фірми в умовах монополістичної конкуренції визначається умовою MR = МС. Відповідно, 20 - 2Q_мк = 3Q_мк - 10, звідки Q_мк = 6. Це і буде обсяг виробництва при монополістичній конкуренції.

Якби фірма діяла в умовах досконалої конкуренції, то обсяг виробництва задавався б умовами АC_min = МС, тоді: 3Q_дк – 10 = 11.

Q_дк = 7 - таким було б виробництво при досконалій конкуренції. Недовантаження виробничих потужностей складає, таким чином:

Q_дк - Q_мк = 7 – 6 = 1 (тис. шт. на рік).

Відповідь: недовантаження виробничих потужностей, яка працює на ринку монополістичної конкуренції складає 1 тис. шт. на рік.

3. Довгострокові середні витрати монополістичного конкурента виражені рівнянням AC_L=16q²-50q+40, а попит на його продукцію Q_D=2-0,5P. Визначте, скільки продукції та за якою ціною зможе продати фірма у довгостроковому періоді.

Розв’язання

У довгостроковому періоді рівновага встановлюється таким чином, що ціна буде дорівнювати середнім витратам, забезпечуючи фірмі нормальний прибуток.

Р = АС. Ціну виразимо з функції попиту: P=4–2q, таким чином: 4–2q = 16q²-50q+40. Звідси: q = 1,5, а Р = 4-21,5 = 1.

Відповідь: q = 1,5; P = 1.

4. Галузевий попит представлений у вигляді Q = 200 – P. Цей ринок поділили між собою дві фірми. Граничні витрати першої фірми визначаються як: MC₁ = 2q₁, а другої: MC₂ = q₂ + 20. Визначте криві реакції цих фірм, визначте обсяг виробництва кожної з них та ринкову ціну.

Розв’язання

Зворотня функцію попиту: P = 200 – Q, так як увесь галузевий попит задовольняється двома фірмами, можна замінити в рівнянні Q = q₁ + q₂. Отримуємо: Р = 200 – (q₁ + q₂) = 200 - q₁ - q₂. Тепер можна вивести рівняння загальної та граничної виручки для кожної фірми:

Аналогічно для другої фірми:

Максимальний прибуток досягається у випадку, коли MR = МС.

Для першої фірми: З цього рівняння виводиться рівняння кривої реакції для першої фірми:

.

Аналогічно знаходимо криву реакції для другої фірми:

Вирішуємо систему з двома невідомими:

;

;

Відповідь: ; ; ; ;

5. Фірма-монополіст виробляє товар, який користується різною популярністю у різних прошарків населення.

Після проведення спеціальних досліджень, менеджери фірми з’ясували, що є дві основні групи покупців її товару. Попит однієї з цих груп характеризується так: за ціни товару у 39 грошових одиниць буде придбано лише одну одиницю товару, а далі зі зниженням ціни товару на одиницю величина попиту зростатиме також на одиницю. Попит другої групи можна описати так: за ціни товару у 56 грошових одиниць буде придбано дві одиниці товару, а зі зниженням ціни товару на дві одиниці величина попиту щоразу зростатиме на одиницю.

Проаналізувавши отримані дані, менеджери фірми отримали змогу сегментувати ринок і продавати свій товар за різною ціною різним групам покупців. Постійні витрати фірми становлять 200 грошових одиниць, а граничні витрати виробництва залишаються сталими і становлять 12 грошових одиниць. Знайти обсяг виробництва, за якого фірма максимізує прибуток, і величину цього прибутку.

Розв’язання

1) На основі даних про попит на товар фірми запишемо рівняння попиту обидвох груп. З умови очевидно, що в обох випадках лінія попиту буде лінійною. Тому можна використати, наприклад, рівняння прямої у вигляді ( ), підставивши у нього дві пари значень ( ). Для першої групи маємо: . Розв’язавши систему, знаходимо , і рівняння попиту на товар першої групи: . Подібно, для попиту другої групи покупців маємо: , звідки і рівняння попиту .

2) Для кожної з груп покупців фірма-монополіст максимізує прибуток, виробляючи обсяг продукції, за якого граничний виторг дорівнює граничним витратам ( ) і запроваджуючи ціну, яка відповідає цьому обсягу виробництва на кривій попиту. .

Для першого сегменту ринку маємо: ; . Оптимальний обсяг продукції знаходимо з рівності , . Підставивши це значення у рівняння попиту, отримуємо . Тобто на першому ринку фірма продасть 14 одиниць продукції за ціною 26 грошових одиниць.

(Цю частину задачі можна розв’язати і без застосування диференціального числення. З курсу економіки відомо, що загальний виторг монополіста максимальний у точці одиничної еластичності, тобто абсциса точки перетину лінії граничного виторгу та горизонтальної осі дорівнює половині абсциси точки перетину горизонтальної осі лінією попиту. Знайшовши координати цієї точки (20;0) і знаючи точку перетину з вертикальною віссю (0;40), легко отримати рівняння лінії граничного виторгу).

3) Для другого сегменту ринку подібно маємо: , оптимальний обсяг продажу 12 одиниць, ціна продажу – 36 грошових одиниць.

4) Отже, фірма максимізує прибуток, виробивши 14+12=26 одиниць товару. Величину прибутку можна знайти як . Згідно умови, рівняння загальних витрат фірми можна записати як . Знаходимо .

Відповідь: фірма виробляє 26 одиниць товару, її прибуток при цьому становить 284 грошові одиниці.