- •В.4 Матрицы и операции над ними
- •В.5 ,6 Определители, их свойства и вычисление
- •Решение произвольных линейных систем
- •В 11. Векторы в пространстве: линейные операции над векторами в геометрической форме,проекция вектора на ось
- •Свойства непрерывных функций
- •. Правило Лопиталя. Формула Тейлора
- •План исследования функции и построения графика
В.5 ,6 Определители, их свойства и вычисление
Каждой квадратной матрице A порядка n можно поставить в соответствие единственное число, которое вычисляется по определенному правилу. Это число называется определителем (или детерминантом) матрицы A и обозначается |A|, или det A, или Δ(A). Порядок матрицы A является и порядком ее определителя. Определители порядка 1-3 определяются, соответственно, равенствами:
,
, (3)
.
Минором Mij элемента aij , , называется определитель (n-1)-го порядка, который состоит из элементов матрицы, полученной из данной после «вычеркивания» i- той строки и j-того столбца.
Алгебраическим дополнением элемента aij называется число Аij=(-1)i+jMij. Определитель порядка n, где
, определяется как число.
Последнее равенство называют разложением определителя по элементам первой строки. Оно есть обобщение равенств (3).
Свойства определителей:
1) ;
2) ;
3) общий множитель элементов какой-либо строки (столбца) можно вынести за знак определителя;
4) перестановка двух строк (столбцов) меняет знак определителя на противоположный;
5) |A|=0, если выполняется одно из следующих условий:
-
в определителе есть нулевая строка (нулевой столбец),
-
в определителе есть пропорциональные строки (столбцы),
-
в определителе есть строки (столбцы), являющиеся линейной комбинацией соответствующих элементов других строк (столбцов);
6) если к элементам одной строки (столбца) определителя прибавить линейную комбинацию соответствующих элементов других строк (столбцов), то значение определителя не изменится.
Основные методы вычисления определителей.
1. Для определителей 3-го порядка удобно использовать правило треугольников, которое схематично можно изобразить следующим образом:
Линии соединяют по три элемента, которые умножаются, а затем произведения складываются.
2. Определитель порядка n может быть вычислен разложением по любой строке (столбцу):
.
3. Метод эффективного понижения порядка определителя: используя свойства определителя, его преобразуют к такому виду, чтобы все элементы некоторой строки (столбца) определителя, кроме одного, были нулями, затем вычисляют определитель разложением по этой строке (столбцу).
4. Метод приведения к треугольному или диагональному виду с использованием свойств определителя, когда определитель равен произведению диагональных элементов.
.
В. 7 Обратная матрица. Ранг матрицы
Произведением матрицы Al×m на матрицу Bm×n называется матрица элементы которой
.
Для получения элемента матрицы – произведения умножают последовательно каждый элемент строки матрицы А на каждый элемент j-го столбца матрицы В и находят сумму этих произведений.
Свойства операции умножения матриц:
В общем случае из существования AB не следует существование BA. Даже если оба эти произведения определены, они не всегда равны. Матрицы, для которых называются коммутативными.
Квадратная матрица B, удовлетворяющая совместно с заданной матрицей A того же порядка равенствам называется обратной матрицей к A и обозначается A–1. Обратная матрица A–1 существует при условии, что A – невырожденная матрица, т. е.
Обратную матрицу можно вычислить следующими способами.
1-й способ. Используют формулу
(4)
где С – матрица, составленная из алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы A.
2-й способ. Для данной матрицы A n-го порядка строится прямоугольная размера матрица путем приписывания к A справа единичной матрицы n-го порядка; затем с помощью элементарных преобразований над строками матрица приводится к виду . Тогда
Рангом матрицы A размера называется максимальный порядок отличных от нуля ее миноров. При этом любой ненулевой минор порядка называется базисным минором матрицы A.
Основные методы нахождения ранга матрицы A.
Метод окаймляющих миноров
Если в матрице A найден ненулевой минор Mk порядка k, а все окаймляющие его миноры )-го порядка равны нулю, то ранг матрицы равен k ().
Метод элементарных преобразований
Используя элементарные преобразования строк, матрицу приводят к трапециевидной или треугольной форме, далее ранг находят по определению.
Как частный случай последнего метода, может быть рассмотрен метод нулей и единиц: элементарными преобразованиями строк матрицу приводят к эквивалентной, состоящей или из нулевых строк и столбцов, или из строк и столбцов, в которых содержится ровно одна единица, а остальные элементы – нулевые. Количество единиц в такой матрице равно ее рангу.
В.8,9,10Системы линейных уравнений
Система линейных алгебраических уравнений (или линейная система) имеет вид:
где aij и bj –заданные числа.
Систему (17) можно записать в матричной форме
(8)
где А – матрица системы, состоящая из коэффициентов;
B – матрица-столбец свободных членов;
X – матрица-столбец неизвестных,т. е. ,, .
Решением системы (7) называется совокупность n чисел , которые после подстановки в уравнения системы вместо соответствующих неизвестных обращают каждое уравнение системы в верное числовое тождество.
Система (7) называется совместной, если у нее существует хотя бы одно решение, в противном случае она называется несовместной. Совместная система (7) называется определенной, если она имеет одно решение и неопределенной, если более одного решения. Две системы называются эквивалентными (равносильными), если множества их решений совпадают.
Ответ на вопрос о совместимости системы дает теорема Кронекера-Капелли: для того чтобы система (7) была совместной, необходимо и достаточно, чтобы
где – расширенная матрица системы (7), т.е. матрица свободных членов.
Рассмотрим систему , имеющую вид: (9)
Определителем системы (9) называется определитель матрицы этой системы (состоящий из коэффициентов: , Если то система называется невырожденной; если - вырожденной.
Методы решения невырожденных систем используются для решения линейных систем (9), состоящих из n уравнений с n неизвестными из которых .
Метод обратной матрицы состоит в решении матричного уравнения (8) по формуле
(10)
Метод Крамера: для нахождения неизвестных необходимо использовать формулы
(11)
где – определитель, получаемый из определителя системы (8) заменой i-го столбца столбцом свободных членов.
Формулы (11) называются формулами Крамера.