- •В.4 Матрицы и операции над ними
- •В.5 ,6 Определители, их свойства и вычисление
- •Решение произвольных линейных систем
- •В 11. Векторы в пространстве: линейные операции над векторами в геометрической форме,проекция вектора на ось
- •Свойства непрерывных функций
- •. Правило Лопиталя. Формула Тейлора
- •План исследования функции и построения графика
. Правило Лопиталя. Формула Тейлора
В случае неопределенностей и при вычислении пределов часто бывает полезным применять правило Лопиталя, которое задается следующей Теоремой.
Теорема 1. Пусть функции и удовлетворяют следующим условиям:
1) определены и дифференцируемы на интервале (a; b), за исключением быть может точки причем и
2) (либо );
3) существует предел тогда существует предел отношений функций причем
(17)
Правило Лопиталя можно использовать последовательно несколько раз.
Аналогичное правило верно в случае
Если при вычислении пределов возникает неопределенность иного вида, то в начале их необходимо свести к неопределенности вида , , а затем использовать правило Лопиталя.
В частности, выражения, которые приводят к неопределенностям тождественно преобразуют к такому выражению, которое приводят к неопределенности или . Неопределенность вда возникают при рассмотрении функции типа С помощью тождества
(18)
они сводятся к неопределенности
Если функция имеет в некоторой окрестности точки производные до -го порядка включительно, то при верна формула Тейлора
(19)
где – остаточный член формулы Тейлора.
Существует несколько форм записи остаточного члена. В частности, в форме Логранжа:
.
Если в формуле Тейлора получим частный вид формулы Тейлора, называемый формулой Маклорена:
где
Верны следующие формулы Маклорена:
(20)
где
где
(21)
где
(22)
Формулы Маклорена могут быть использованы в приближенных вычислениях. При этом абсолютная погрешность приближения в случае чередования знаков в формуле Маклорена не превосходит абсолютной величины первого отображаемого слагаемого.
Исследование функций. Наибольшее
и наименьшее значение функций на промежутке
Всюду далее функция определена на рассматриваемых промежутках.
Теорема 1. Дифференцируемая на функция (убывает) на этом интервале тогда и только тогда, когда
Точка называется точкой локального максимума (минимума) функции , если существует некоторая окрестность точки такая, что для всех x из этой окрестности выполняется неравенство .
Значение называется локальным максимумом (минимумом) функции.
Точки максимума или минимума функции называются точками экстремума (локального). Максимум и минимум называются экстремумом функции.
Теорема 2 (необходимое условие существования экстремума функции).
Если в точке функция достигает экстремума, то ее производная в этой точке равна нулю или не существует. Точки, в которых производная функции обращается в нуль или не существует, называют критическими. Исследование функции на экстремум начинается с нахождения критических точек. Однако не в каждой критической точке существует экстремум. Для того, чтобы определить точки экстремума используют достаточные условия (признаки экстремума).
Теорема 3 (первый признак экстремума функции).
Пусть – критическая точка непрерывной функции .
Если в некоторой окрестности точки выполняется условие
то – точка локального максимума;
если выполняется условие
то – точка локального минимума.
Если производная имеет один и тот же знак в левой и правой полуокрестности точки , то не является точкой экстремума.
Теорема 4 (второй признак экстремума функции).
Пусть – критическая точка функции , дважды дифференцируемой в окрестности точки . Тогда является точкой локального минимума функции , если и точкой локального максимума, если
Теорема 5 (третий признак экстремума функции).
Пусть – n раз непрерывно дифференцируемая в критической точке функция и Тогда:
1) если n – четное и то – точка локального максимума;
2) если n – четное и то – точка локального минимума;
3) если n – не четное, то не является точкой локального экстремума.
Точка называется точкой глобального максимума (минимума) функции на некотором промежутке, если для любой точки x из этого промежутка выполняется неравенство .
Точки глобального максимума и минимума называются точками глобального экстремума. Значения функции в этих точках называются соответственно глобальным максимумом (наибольшим значением) и глобальным минимумом (наименьшим значением).
Теорема 5 (Вейерштрасса). Если функция непрерывна на отрезке , то она достигает на нем своих наименьшего и наибольшего значений
Непрерывная на отрезке достигает наименьшего (наибольшего) значений либо на концах отрезка, либо в точках ее локального экстремума.
Для отыскания глобальных экстремумов функции на отрезке необходимо:
1) найти производную
2) найти критические точки функции;
3) найти значения функции на концах отрезка, т. е. и а также в критических точках, принадлежащих
4) из всех полученных значений функции определить наибольшее и наименьшее ее значения.
График функции называется вогнутым (выпуклым вниз) на , если дуга кривой на этом интервале расположена выше любой касательной проведенной к графику этой функции (рис. 1).
Рис. 1.
График функции называется выпуклым (выпуклым вверх) на , если дуга кривой на этом интервале расположена ниже любой касательной проведенной к графику этой функции (рис. 2).
Рис. 2.
Теорема 6. Если функция дважды дифференцируема на и всюду на этом интервале, то график функции вогнут (выпуклый) на .
Точка така, что график функции меняет выпуклость на вогнутость или наоборот, проходя через , называется точкой перегиба (рис. 3)
Рис. 3.
Для нахождения точек перегиба вначале находят критические точки 2-го рода – те значения x, для которых или не существует. Далее используют достаточные условия перегиба.
Теорема 7 (достаточные условия перегиба).
Если для функции вторая производная в некоторой точке обращается в нуль или не существует и при переходе через нее меняет свой знак, то – точка перегиба.