- •В.4 Матрицы и операции над ними
- •В.5 ,6 Определители, их свойства и вычисление
- •Решение произвольных линейных систем
- •В 11. Векторы в пространстве: линейные операции над векторами в геометрической форме,проекция вектора на ось
- •Свойства непрерывных функций
- •. Правило Лопиталя. Формула Тейлора
- •План исследования функции и построения графика
Свойства непрерывных функций
1. Если функции и непрерывны в точке , то их сумма также есть непрерывная функция в точке . Это свойство справедливо для любого конечного числа слагаемых.
2. Произведение двух непрерывных функций есть функция непрерывная.
3. Частное двух непрерывных функций есть функция непрерывная, если знаменатель в рассматриваемой точке не обращается в нуль.
4. Если функция непрерывна в точке и , то значения функции в некоторой окрестности точки имеют тот же знак, что и .
5. Если функция непрерывна в точке и принимает в этой точке значение , а функция непрерывна в точке , то сложная функция непрерывна в точке .
6. Всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена.
7. Если непрерывная на некотором обрезке функция принимает на его концах значение разных знаков, то на этом отрезке найдется хотя бы одна точка, в которой .
8. Если функция непрерывна в точке , то операция вычисления предела в этой точке и функции переставимы, т.е.
(30) На свойстве 8 (равенства (30)) и было основано непосредственное вычисление предела функции в случае отсутствия неопределенности (см.параграфы 16.1 – 16.4).
Если нарушается хотя бы одно условие, указанное в определении непрерывности, то называется такой разрыв функции.
Классификацию точек разрыва дают в зависимости от того, какое условие последнего определения непрерывности (в том числе равенства (29)) нарушено.
Точки разрыва I рода
1. Если существуют односторонние пределы в точке (конечные) и
,
то называется точкой устранимого разрыва.
2. Если существует односторонние пределы в точке (конечные) и , (44)
то - точка разрыва, который называется скачок.
В случае устранимого разрыва функцию можно доопределить в точке значением и она станет непрерывной.
В случае скачка сделать это невозможно.
Точки разрыва II рода
1. Если
или
то – точка разрыва, который называется бесконечный скачок. В этом случае прямая является вертикальной асимптотой.
2. Если односторонние пределы в точке не существуют (не определены), то - точка неопределенности.
Получили, что – точка разрыва I рода (скачка). Значит, функция непрерывна всюду на числовой прямой кроме точки , в которой она имеет скачок, равный 1.
Дифференцирование функции с переменной в основании степени и в показателе
Производная функции
, (1)
где – некоторые выражения с переменной x, не может быть вычислена по табличным формулам дифференцирования степенной функции и показательной функции (так как переменная находится как в основании степени, так и в её показателе). Заданная функция типа (1) называется показательно-степенной.
Способы вычисления производной показательно-степенной функции
Первый способ вычисления
Используют метод логарифмического дифференцирования. Для этого:
-
логарифмируют обе части уравнения, которым задается функция (например, по основанию ):
,
получают
;
-
дифференцируют обе части полученного равенства, где считают сложной функцией от (правую часть равенства дифференцируют как произведение функций):
-
выражают из полученного равенства :
;
-
заменяют y его выражением через x:
. (2)
При решении данным методом используют не конечную формулу (2), а реализуют процесс логарифмического дифференцирования для каждой функции типа (1).
Второй способ
На основании свойства логарифмов записывают
. (3)
Далее дифференцируют как сложную функцию.
С помощью логарифмического дифференцирования удобно также вычислять производные функций при наличии в их аналитическом задании большого количества операций умножения, деления, возведения в степень.
Дифференцирование функций, заданных неявно и параметрически.
Уравнение
(4)
задаёт неявно функцию , если при подстановке выражения вместо в уравнение (4) оно превращается в тождество. Предположим, что функция дифференцируема и требуется вычислить
Первый способ: Если практически возможно, выражают y через x и дифференцируют y(x) по правилам дифференцирования.
Второй способ: Дифференцируем уравнение (4) по , считая, что y есть функция от x. Получаем новое уравнение, содержащее x, y и . Из него находим
Пусть функция задана параметрически уравнениями:
, (5)
где функции и дифференцируемы для любого , причем , и требуется найти
Первый способ: Из первого уравнения системы (5) выражают t через x (если это возможно) и подставляют во второе уравнение системы (5). Приходят к сложной функции от переменной , которую дифференцируют по .
Второй способ: Используют формулу
(6)
Полученное таким образом выражение для зависит от переменной . Если возможно (и необходимо) из первого уравнения системы (5) выражают через и подставляют выражение, полученное для
Необходимое и достаточное условия
Дифференцируемости функций. Дифференциал функции
Функция называется дифференцируемой в точке если ее приращение в этой точке может быть представлено в виде
(7)
где. (8)
Теорема: Для того, чтобы функция была дифференцируема в точке необходимо и достаточно, чтобы в точке существовала производная и в равенстве (7) выполнялось .
Понятие дифференцируемости функции эквивалентно равенству
(9)
где – главная часть приращения функции, а для бесконечно малой выполняется (8).
Дифференциалом функции в точке называется главная часть приращения функции. Дифференциал обозначается символом . По определению
(10)
В частности, для получим .
Тогда определение дифференциала имеет вид:
Свойства дифференциала
Пусть – дифференцируемые функции на некотором множестве .
1)
2)
3)
4)
5)
6) где – сложная функция, дифференцируемая по переменной u (свойство инвариантности дифференциала). При достаточно малом значении приращение функции с большой степенью точности можно заменить дифференциалом функции:
(11)
Формулу (11) используют в приближенных вычислениях.
С геометрической точки зрения дифференциал функции равен приращению ординаты касательной к кривой в точке , когда аргумент получает приращение
Производные и дифференциалы высшего порядка
Производная определенная на некотором множестве является также функцией от x. В случае ее дифференцируемости можно вычислить ее производную. Производная от производной называется производной второго порядка:
Аналогично .
Начиная с четвертого, порядок производной обозначается только индексом в скобках (сверху). Производные порядка 1–3 также обозначаются По определению В случае дифференцируемости производной производная порядка n определяется равенством
(12)
Для производных высшего порядка справедливо свойство линейности:
где – произвольные действительные числа,
– n раз дифференцируемые функции.
Если и – n раз дифференцируемые функции, то верна формула Лейбница:
(13)
где – биномиальные коэффициенты:
.
Коэффициенты можно найти также из треугольника Паскаля. Если функция задана в неявном виде уравнением то для нахождения производной второго порядка (в случае ее существования) надо продифференцировать найденную первую производную по аргументу x, продолжая рассматривать y как функцию от x. Затем вместо надо подставить найденное ранее значение.
Если функция задана параметрически,
То находим вначале производную 1-го порядка по формуле (6) и затем
(14)
Для нахождения производной второго порядка используем формулу (6) к параметрически заданной функции (14):
Аналогично реализуем тот же подход при нахождении и т. д.
Дифференциал от дифференциала функции f в точке x (если функция определена и дважды дифференцируема) называется дифференциалом второго порядка:
Дифференциал n-го порядка функции (в случае дифференцируемости n раз, ) определяется как дифференциал от дифференциала (n–1)-го порядка:
Для вычисления дифференциала порядка n используют формулу:
(15)
Дифференциалы второго и выше порядков не обладают (в отличие от дифференциалов первого порядка) свойством инвариантности, т. е. их форма, а следовательно и способ вычисления зависят от того, является ли аргумент x независимой переменной или дифференцируемой функцией другой переменной.