Метод половинного деления
Решение алгебраического уравнения. Для численного решения алгебраических
уравнений существует множество способов. Среди самых известных можно назвать метод Ньютона, метод Хорд, и «всепобеждающий» метод Половинного Деления.
Сразу оговоримся, что любой метод является приближенным, и по сути дела лишь уточняющим значение корня. Однако уточняющим до любой точности, заданной Нами.
Метод половинного деления или дихотомии (дихотомия - сопоставленность или противопоставленность двух частей целого) при нахождении корня уравнения
f(x)=0 состоит в делении пополам отрезка [a; b], где находится корень. Затем анализируется изменение знака функции на половинных отрезках, и одна из границ отрезка [a; b] переносится в его середину. Переносится та граница, со стороны которой функция на половине отрезка знака не меняет.
Далее процесс повторяется. Итерации прекращаются при выполнении одного из условий: либо длина интервала [a; b] становится меньше заданной погрешности нахождения корня ε, либо функция попадает в полосу шума ε1 – значение функции сравнимо с погрешностью расчетов. Сначала поставим задачу. Дана монотонная, непрерывная функция f(x), которая содержит корень на отрезке [a,b], где b>a.
Определить корень с точностью ε, если известно, что
f(a)*f(b)<0
Дано уравнение вида:
f(x)=0; (1)
необходимо найти удовлетворяющие ему значения x.
Рис.1 Блок-схема.
Метод касательных.
Метод Ньютона, алгоритм Ньютона (также известный как метод касательных) — это итерационный численный метод нахождения корня (нуля) заданной функции. Метод был впервые предложен английским физиком, математиком и астрономом Исааком Ньютоном (1643—1727). Поиск решения осуществляется путём построения последовательных приближений и основан на принципах простой итерации. Метод обладает квадратичной сходимостью. Улучшением метода является метод хорд и касательных. Также метод Ньютона может быть использован для решения задач оптимизации, в которых требуется определить нуль первой производной либо градиента в случае многомерного пространства.
Геометрическая интерпретация
Основная идея метода заключается в следующем: задаётся начальное приближение вблизи предположительного корня, после чего строится касательная к исследуемой функции в точке приближения, для которой находится пересечение с осью абсцисс. Эта точка и берётся в качестве следующего приближения. И так далее, пока не будет достигнута необходимая точность.
Пусть — определённая на отрезке и дифференцируемая на нём вещественно значная функция. Тогда формула итеративного исчисления приближений может быть выведена следующим образом:
где — угол наклона касательной в точке .
Следовательно, искомое выражение для имеет вид:
Рис.2.
Рис.3. Блок-схема.
Глава2. Практическая часть.
1.Уравнение х2*2х=1
Мне дано первое уравнение х2*2х=1 его нужно решить двумя методами.
Метод половинного деления.
Рис.4. Мне дана функция вида f(x)=x^2*2^x-1, для решения этой функции я составил программный код:
Рис.5. Запускаю макрос и ввожу начало отрезка:
Рис. 6. и рис. 7. Затем вожу конец отрезка и погрешность:
Рис.8. На экран выходит ответ.
2.Метод касательных.
Рис.9.Для решения функции методом касательных я составил программный код:
Рис10. Введем начало отрезка
Рис. 11. и рис. 12. Затем вожу конец отрезка и погрешность:
Рис.13.Получаем результат
2.Уравнение х4-х3-2х2+3х-3=0
1.Решим его методом деления пополам
Рис.14.Для решения его методом деления пополам я составил програмный код
Рис.15.Введем начало отрезка
Рис.16. и Рис.17. Введем конец отрезка и погрешность
Рис.18. Ответ
2.Решим это же уравнение методом касательных
Рис.19. Для решения функции методом касательных я составил программный код:
Рис.20.Введем начало отрезка
Рис.21. и Рис.22. Введем конец отрезка и погрешность
Рис.23. Получаем ответ