Лабораторная работа № 1 Численное решение нелинейных уравнений

Порядок выполнения работы

Работа выполняется в два этапа:

а) отделение корней;

б) доведение корней до заданной точности.

I. Отделение корней:

а) для получения задания обратитесь к преподавателю или нажмите кнопку ВАРИАНТ;

б) отделите корни уравнения, т.е. определите отрезок (отрезки), содержащий строго один корень уравнения;

в) внесите границы отрезка в ячейки А7, А8;

г) в ячейке А9 укажите точность;

д) в ячейку А6 введите формулу, содержащую левую часть Вашего уравнения и использующую в качестве аргумента х ссылку на адрес А7;

е) для проверки правильности выполнения этапа нажмите кнопку ГРАНИЦЫ.

2. Доведение корней до заданной точности:

а) в ПОЛЕ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ (голубые ячейки) внесите расчётные формулы метода;

б) в ячейку G9 внесите формулу, ссылающуюся на адрес из ПОЛЯ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ, содержащий решение задачи;

в) для проверки правильности выполнения этапа нажмите кнопку РЕЗУЛЬТАТЫ.

Общие теоретические основы методов

Нахождение приближённого корня (корней) уравнения состоит из двух этапов, а именно:

а) отделение корней;

б) доведение корней до заданной точности.

Под отделением корней понимают процедуру нахождения отрезка (отрезков), содержащего строго один корень. Очевидно, отрезок [a, b] содержит строго один корень при выполнении двух условий отделимости:

1. f(a) f(b)<0.

2. сохраняет знак в [a, b].

Первое условие отделимости означает, что график функции y=f(x) пересекает ось ОХ в отрезке [a, b] хотя бы один раз. Второе условие отделимости означает, что график монотонной функции y=f(x) в [a, b] пересекает ось в отрезке [a, b] ровно один раз.

Метод дихотомии Теоретические основы метода

Пусть дано уравнение

f(x)=0. (1.1)

Необходимо определить приближенный корень с заранее заданной точностью .

Будем считать, что корни отделены, т.е. определен отрезок (отрезки), содержащий строго один корень. При этом для отрезка [a, b] выполнены условия отделимости.

1. f(a) f(b)<0.

2. Сохраняет знак в [a, b].

Вычислим середину отрезка: . Если f(c) = 0, то задача решена случайно. Если f(c)  0, то получим два отрезка [a, c] и [c, b], в одном из которых находится корень. Для дальнейшего использования выберем тот из двух получившихся отрезков, для которого выполнено первое условие отделимости. Выбранный отрезок обозначим как [a₁, b₁]. Длину этого отрезка вычислим по формуле . Для полученного отрезка вычислим . Если f(c₁) = 0, то задача решена случайно. Если f(c)  0, то из двух полученных отрезков [a₁, c₁] и [c₁, b₁] выберем тот, для которого выполнено первое условие отделимости. Переобозначим границы отрезка как [a₂, b₂].

Описанную процедуру половинного деления следует прекратить на шаге с номером n при выполнении неравенства d_n< и в качестве приближенного решения задачи выбрать любую точку из отрезка [a_n, b_n].

Замечание. В приведенном методе выполнение второго условия отделимости не требуется.