Метод Зейделя.

Метод Зейделя является разновидностью метода итераций, но обладает более быстрой сходимостью к решению за счет того, что некоторые приближения текущей итерации вычисляются как с использованием приближений предыдущей итерации, так и с использованием приближений текущей итерации.

Расчетные формулы метода Зейделя:

()()(4)

вопросы сходимости и достижения заданной точности метода Зейделя совпадают с аналогичными вопросами метода итераций.

Рекомендуется:

Для того, чтобы расчетные формулы (три штуки) не вводить с клавиатуры, а получить две последние копированием введенной первой формулы, рекомендуется транспортировать матрицу α.

Численное интегрирование

1. Формула трапеций.

Пусть необходимо вычислить определенный интеграл:

(1) , в котором функция f(x), a и b заданы.

Если первообразную функции f(x) удастся определить в конечном виде, то нет необходимости численные методы. Поэтому в дальнейшем речь пойдет о функциях f(x), первообразные которых невозможно представить в конечном виде.

Пусть необходимо найти приближенное значение интеграла 1 с заранее заданной точностью ε.

Пусть внутри [a,b] f(x)≥0 (2), тогда точное значение интеграла 1 равно площади криволинейной трапеции, ограниченной осью ох, вертикалями х=а и х=b и графиком функции f(x). Отрезок интегрирования [a,b] разобьем на n штук отрезков одинаковой длины h:

, в результате чего получим n+1 точку разбиения так, что x₁<x₂<…<x_n+1, причем x_i=x₁+(i-1)*h, . В каждой точки x_i восстановим перпендикуляр до пересечения с графиком функции f(x).

Точки пересечения вертикалей и графика будем называть узлами.

Соединим отрезками прямых пары близлежащих углов. В результате чего получим n трапеций, суммарная площадь которых приближенно равна упомянутой выше площади криволинейной трапеции, и, следовательно,

, где S_i площадь трапеции i.

Расчетная формула метода трапеций. При увеличении числа разбиений n точность повышается. Заданная точность будет достигнута при выполнении условия , где М₂ – max модуля 2-ой производной f ’(x) в отрезке [a,b].

4. Метод наименьших квадратов.

Пусть в результате экспериментов получена таблица 1 с произвольным расположением аргументов. Аналитическое выражение табличной функции f может быть неизвестным. На основе этой таблицы требуется найти формулу у=р(х), приближенно описывающую зависимость между экспериментальными данными таблицы. Полученное для этой цели соотношение у=р(х) называется эмпирической формулой, а функция р – эмпирической функцией. Применение интерполирования для решения данной задачи нецелесообразно, т.к. данный метод при большом количестве узлов является неудобным и сложным.

Поиск эмпирической формулы начинается с определения класса функций, которые лучше всего отражают связь между табличными данными. Эффективным методом для этого являются графические соображения. На координатной плоскости отмечаются определяемые данной таблицей точки, а затем по характеру их расположения подбирается вид приближения из числа известных элементарных функций. В перечень наиболее используемых классов функций входят многочлены, тригонометрические функции и их линейные комбинации, логарифмические функции, дробно-линейные функции и т.д. Есть несколько способов поиска графика функции, который ближе всего к табличным точкам. Рассмотрим следующий: возьмем в качестве меры близости функций р и f на отрезке [х₀, х_n] расстояние между ними и наилучшей функцией р будем считать ту, для которой имеет наименьшее значение:

(***)

числа - называются уклонениями, а вычисленное по формуле (***) расстояние – среднеквадратичным уклонением.

Задача приближения по методу наименьших квадратов заключается в следующем: пусть связь между аргументами х_i и значениями у_i таблицы 1 приближено описывается формулой у = р(х, а₁, а₂, …а_к) с числовыми параметрами а₁, а₂, …а_к. Требуется определить такие значения этих параметров, при которых сумма квадратов уклонений будет наименьшей.

Если - искомые значения параметров, то их называют наилучшими параметрами, соотношение у = р(х, а₁, а₂, …а_к) – наилучшей эмпирической формулой данного класса , а функцию f – наилучшей функцией из данного класса функций.