- •Цели, содержание и структура курса математики 5-6 классов
- •Значение и место учения о числе в курсе математики общеобразовательной школы
- •5 Класс
- •6 Класс
- •3. Различные пути расширения понятия числа
- •4. Методика изучения натуральных чисел
- •4. Методика изучения натуральных чисел
- •5. Основные вопросы методики изучения дробей
- •5. Основные вопросы методики изучения дробей
- •6. Методика изучения положительных и отрицательных чисел
- •I. Основные типы преобразований и этапы их изучения
- •III этап. Организация целостной системы преобразований (синтез).
- •Буквенной части слагаемых пока остается первой.
- •1. Содержание и роль линии уравнений и неравенств в современном школьном курсе математики
- •2. Основные понятия линии уравнений и неравенств
- •I * hi лаже он и возникает по ходу обсуждения процесса решения, то ответ на не-
- •Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.
- •* Последовательность изучения линии уравнений и неравенств
- •I )гапы изучения линии уравнений, неравенств и их систем в основной школе
- •1* Курсе математики 5 класса понятие уравнения трактуется аналогично.
- •Основные классы неравенств изучаются сразу вслед за изучением со- »»I мотствующих классов уравнений.
- •I Ъшить уравнение - это значит найти все его корни или установить, что их нет.
- •Решение квадратных уравнений и неравенств
- •Il Графический метод (I способ)
- •Графический метод
- •Системы уравнений с двумя переменными, в которых одно или оба уравнения второй степени
- •Графический метод
- •Графический метод
- •Графический метод
- •Графический метод
- •Графический метод
- •Графический метод
- •Il Графический метод
- •Il Графический метод
- •Графический метод
- •Графический метод
- •Графический метод
- •Графический метод
- •1. Цели обучения решению текстовых задач
- •2. Пропедевтика алгебраического и геометрического методов решения текстовых задач
- •3. Этапы решения задач на составление уравнений и их реализация
- •Этап {перевод задачи на геометрический язык).
- •Этап (решение задачи на геометрическом языке).
- •1. Из истории введения понятия функциональной зависимости в школьный курс математики
- •2. Различные трактовки понятия функции
- •3. Методика введения понятия функции
- •Этап. Мотивация введетя понятия.
- •Исследовать функцию на основные свойства.
- •Использовать изученные свойства функций при решении различных задач, в частности уравнений и неравенств.
- •Влияние коэффициентов hub на поведение функции
- •Взаимное расположение графиков линейных функции
- •Б. Интеграция аналитического и графического методов в изучении квадратичной функции
- •1. Цели и задачи курса геометрии основной школы
- •2. Содержание обучения геометрии в 7-9 классах
- •3. Логические основы изложения геометрии в 7-9 классах
- •Аксиомы принадлежности
- •Аксиомы порядка
- •Аксиомы измерения отрезков и углов
- •Рекомендуемая литература
- •1. Методика изучения основных свойств простейших геометрических фигур
- •1. Учебник а. В. Погорелова: § 1 «Основные свойства простейших геометрических фигур»,
- •Определения «через ближайший род и видовые отличия»
- •Измерение отрезков и углов
- •3. Учебник а. Д. Александрова и др,: глава I «Начала геометрииж
- •2. Методика формирования геометрических понятий
- •3, Обучение решению задач на первых уроках геометрии
- •II группа
- •1. Различные подходы к формированию понятия равенства фигур
- •Что нужно знать, чтобы утверждать равенство треугольников abc и dek1
- •На рисунке 55 изображено два равных треуголь- ника. Написать равенство этих треугольников, обозначив их вершины.
- •Если разносторонние треугольники abc и dkm
- •11Ри иодом пример.
- •I (сн тральное место в изучении равных треугольников занимают признаём риионота треугольников.
- •Доказательство:
- •Доказательство:
- •Треугольники вас и cdb равны. Напишите все соотношения, из ко- торых следует равенство указанных треугольников.
- •Напишите соотношение между элемен- тами треугольников abc и adc, из которых следовало бы их равенство.
- •Какие методические подходы существуют к введению понятия ранено гва фигур в школьном курсе геометрии? Какой подход, на Ваш взгляд, милмется наиболее удачным?
- •В чем особенности введения понятия равных треугольников в разных учебниках геометрии?
- •Приведите примеры упражнений на усвоение понятия равных треугольников.
- •I. Цели и этапы изучения взаимного расположения прямых на плоскости
- •1 Различные подходы к введению понятия параллельности прямых на плоскости.
- •I. Методика изучения признаков параллельности прямых.
- •1, Цели и этапы изучения взаимного расположения прямых на плоскости
- •2. Различные подходы к введению понятия параллельности прямых на плоскости
- •4. Методические замечания к изучению перпендикулярности прямых на плоскости
- •В данной плоскости через точку вне данной прямой можно провести только одну прямую, параллельную данной.
- •Сумма внутренних углов треугольника равна 2d.
- •1. Различные подходы к изучению многоугольников
- •2. Методика изучения четырехугольников
- •Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны,
- •Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечении делятся пополам, то этот четырехугольник параллелограмм.
- •Какие из систем неравенств задают на плоскости трапецию и почему? Покажите штриховкой множество точек плоскости, заданное системой неравенств:
- •1 H найти площадь трапеции.
- •1, Имеет1 ли ось симметрии фигура, заданная системой неравенств:
- •Верно ли утверждение: а) любой правильный многоугольник является выпуклым; б) любой выпуклый многоугольник является правильным?
- •Чему равны градусные меры углов: а) правильного пятиугольника; б) правильного двенадцатиугольника; в) правильного тридцатишестиугольника?
- •Множество направленных отрезков плоскости.
- •Множество классов направленных отрезков плоскости.
- •Множество параллельных переносов плоскости.
- •Начертите равнобочную трапецию: а) существуют ли векторы, определяемые её вершинами и равные по длине? б) Сколько пар сонаправленных векторов задают вершины трапеции?
- •Сколько пар сонаправленных (противоположно направленных) векторов определяют вершины параллелограмма?
- •Начертить параллелограмм, обозна- чить его вершины и написать все равные ме- жду собой векторы, началом и концом кото- рых являются вершины параллелограмма.
- •Векторы а и ъ равны, что следует из этого?
- •3. Методика изучения действий с векторами
- •II. Умножение вектора на число
- •Учебник геометрии а. В. Погорелова.
- •Учебник геометрии j1. С. Атанасяна и Др.
- •Построить вектор, представляющий сумму
- •4. Методика обучения решению задач с помощью векторов
- •1. Дан многоугольник abcde. Представьте ad в виде суммы: а) двух; б) I рёх; в) четырех векторов, заданных вершинами этого многоугольника.
- •Представьте вектор ав в виде суммы векторов ас, dc , bd .
- •Вектор cDколлинеарен вектору ав и Выразите один век-
- •Четырехугольник abcd - квадрат. Упростите выражение { ав - 3 вс)2,
- •VI. Упражнения на нахождение длины вектора и величины угла между векторами.
- •Какие действия с векторами изучаются в школьном курсе геометрии?
- •Б) в треугольнике лвс известны длины всех сторон. Определить его углы.
- •II кн. До н. Э.) уже фактически пользовался прямоугольными координатами.
- •Простейшие задачи в координатах на плоскости
- •Уравнения фигур на плоскости
- •4. Особенности применения метода координат
- •5. Методика формирования координатного метода решения задач
- •Решение (координатный метод)
- •Iэтап(оптимальный выбор прямоугольной системы координат). Выберем прямоугольную систему координат так, как показано на рис. 93.
- •Этап (перевод задачи на координатный
- •Так как м середина стороны вс, то л/
- •Этап (решение задачи на координат- ном языке).
- •Рекомендуемая литература
- •Значение тригонометрических функций в школьном курсе математики и различные подходы к их изложению
- •I ермипы «косинус», «котангенс» и др. Появились в XI—XVII вв.
- •Этапы изучения линии уравнений, неравенств и их систем в
- •Системы уравнений с двумя переменными, в которых
- •Цели и этапы изучения взаимного расположения прямых на
- •Различные подходы к введению понятии параллельности пря
JI
с к и и я
IX
МЕТОДИКА
ИЗУЧЕНИЯ РАВЕНСТВА ФИГУР
I.
Различные подходы к формированию
понятия равенства фигур. Л Введение
понятия равных треугольников. I. Методика
изучения признаков равенства
треугольников. *1> ()бучение решению
задач с помощью признаков равенства
треугольников
В
учебно-методической литературе изложены
различные подходы к введению понятия
равенства фигур.
!
подход.
Вначале дается определение равных
(конгруэнтных) фигур, затем
рассматривается равенство различных
видов фигур (треугольников,
четырехугольников и т. д.). Известны
различные модификации этого подхода.
Равенство
фигур определяется через отображение
фигуры на фигуру, инею через движение
(перемещение) плоскости. Первый путь
реализован в учебнике геометрии под
ред. А. Н. Колмогорова, второй - в учебнике
под ред. I Д. Скопеца. Отображение, как
правило, не определяется; содержание
этого понятия раскрывается на конкретных
примерах. Опыт работы по учебнику под
ред. А. Н. Колмогорова показал, что
реализация этого пути вызывает большие
фудности у учащихся.
Равенство
фигур определяется через наложение.
Причем, иногда содержание понятия
наложения считают интуитивно ясным и
не раскрывают его (иаиример, Киселев
А. П. Элементарная геометрия. - М., 1980).
Иногда понятие ни поженил относят к
основным, а поэтому его содержание и
связь с другими неполными понятиями
описывают с помощью аксиом. Этот вариант
реализован н учебнике геометрии JI.
С.
Атанасяна и др.
II
подход.
Определению равенства фигур предшествует
введение равен- < I ил отрезков, углов
и треугольников. Два
отрезка называются равными, если они
имеют одинаковую длину. Два угла
называются равными,
если
они имеют (ишцые градусные меры.
Треугольники называются равными,
если
у них соответствующие стороны равны
и соответствующие углы равны.
Равенство
фигур определяется через движение: две
фигуры называются ршжыми, если они
движением переводятся одна в другую.
Для указанного спо-
1771. Различные подходы к формированию понятия равенства фигур
Треугольник |
Количество осей симметрии |
Количество пар равных треугольников |
Равносторонний |
3 |
3 |
Равнобедренный |
1 |
1 |
Разносторонний ! |
Нет |
Нет |
В
школе принята также классификация
треугольников по углам: остроугольные,
прямоугольные и тупоугольные.
178
Изучение
треугольников в соответствии с программой
распределено по всем классам основной
школы. Курс 7 класса - это, по существу,
геометрия треугольника.
Треугольник
- одна из основных «рабочих» фигур
изучаемого в школе курса планиметрии.
Установление цепочек равных треугольников
- широко ис- иользуемый прием доказательства
различных геометрических утверждений.
Равенство
треугольников традиционно изучается
в курсе планиметрии. < )днако трактовка
этого понятия, методика его введения
разные для различных учебников. Так, в
учебниках А. Н. Колмогорова и др.
«Геометрия 6-8» (М., 1979) и JI.
С.
Атанасяна и др. «Геометрия 7-9»
(М., 2003) равные треугольники - частный
случай равных фигур, то есть фигур,
которые можно совместить наложением.
Такие понятия, как «совмещение» и
«наложение», считаются интуитивно
пони шыми учащимся и в курсе не
определяются.
Иной
подход, как уже было сказано, реализован
в пробном учебнике Д. Д. Александрова
и др.. Здесь равными называются
треугольники, у которых гоошетственные
стороны равны. Такая «экономия» свойств,
определяющих ранные треугольники,
ведет к сокращению числа признаков
равенства треугольников. С другой
стороны, такой подход не позволяет
ввести общее поняли* равных
многоугольников.
Будем
рассматривать методику изучения
равенства фигур по действующим
учебникам
А. В.
Погорелова
и Л.
С. Атанасяна
и др., хотя методические рекомендации
по формированию понятий, по организации
работы с теоремой применимы
и
к изучению этой темы по другим учебным
пособиям, в частности мо учебнику А. Д.
Александрова и др. (Подробно этот вопрос
рассмотрен в умгЛппм
пособии
Г. И. Саранцева [10].)
I.
Учебник
геометрии А.В. Погорелова
Характерным
для учебника А.В. Погорелова является
наличие в нем ак- ишмы
существования
треугольника, равного данному (которая,
по существу, WHM'IVM
эквивалентом
аксиомы подвижности плоскости).
11опитие
равных отрезков (углов) можно ввести
здесь следующим обрати I (ичертить
на доске несколько отрезков, среди
которых должны быть и та- Mtr,
котрыс
имеют равные длины, измерить длины
отрезков, отметить, что от- |имни имеющие
одинаковую длину, называются равными.
(>п
ре деление равных отрезков простое и
поэтому не требуется большой рабо- «м
ш
01
о усвоения. Для этого достаточно
выполнить следующие упражнения:
Установить
с помощью линейки, какие из изображенных
на рисунке И1р«ммж
раины (рисунок дан).
11
«нес
гно,
что
отрезок АВ
равен отрезку CD.
В
каком соотношении на- и
м их длины?
11ри
ииедепии
понятия
равных треугольников следует начертить
несколь- iMi
ip$*
vi он
mi
икон,
измерить
их стороны и углы, выделить треугольники
с равными
м нами и сторонами,
это равные треугольники. Затем следует
предложить н*И*Н1'ним
на усвоение
существенных свойств
понятия,
в
частности,
на усвоении нншги равенства
треугольников.
179