- •Цели, содержание и структура курса математики 5-6 классов
- •Значение и место учения о числе в курсе математики общеобразовательной школы
- •5 Класс
- •6 Класс
- •3. Различные пути расширения понятия числа
- •4. Методика изучения натуральных чисел
- •4. Методика изучения натуральных чисел
- •5. Основные вопросы методики изучения дробей
- •5. Основные вопросы методики изучения дробей
- •6. Методика изучения положительных и отрицательных чисел
- •I. Основные типы преобразований и этапы их изучения
- •III этап. Организация целостной системы преобразований (синтез).
- •Буквенной части слагаемых пока остается первой.
- •1. Содержание и роль линии уравнений и неравенств в современном школьном курсе математики
- •2. Основные понятия линии уравнений и неравенств
- •I * hi лаже он и возникает по ходу обсуждения процесса решения, то ответ на не-
- •Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.
- •* Последовательность изучения линии уравнений и неравенств
- •I )гапы изучения линии уравнений, неравенств и их систем в основной школе
- •1* Курсе математики 5 класса понятие уравнения трактуется аналогично.
- •Основные классы неравенств изучаются сразу вслед за изучением со- »»I мотствующих классов уравнений.
- •I Ъшить уравнение - это значит найти все его корни или установить, что их нет.
- •Решение квадратных уравнений и неравенств
- •Il Графический метод (I способ)
- •Графический метод
- •Системы уравнений с двумя переменными, в которых одно или оба уравнения второй степени
- •Графический метод
- •Графический метод
- •Графический метод
- •Графический метод
- •Графический метод
- •Графический метод
- •Il Графический метод
- •Il Графический метод
- •Графический метод
- •Графический метод
- •Графический метод
- •Графический метод
- •1. Цели обучения решению текстовых задач
- •2. Пропедевтика алгебраического и геометрического методов решения текстовых задач
- •3. Этапы решения задач на составление уравнений и их реализация
- •Этап {перевод задачи на геометрический язык).
- •Этап (решение задачи на геометрическом языке).
- •1. Из истории введения понятия функциональной зависимости в школьный курс математики
- •2. Различные трактовки понятия функции
- •3. Методика введения понятия функции
- •Этап. Мотивация введетя понятия.
- •Исследовать функцию на основные свойства.
- •Использовать изученные свойства функций при решении различных задач, в частности уравнений и неравенств.
- •Влияние коэффициентов hub на поведение функции
- •Взаимное расположение графиков линейных функции
- •Б. Интеграция аналитического и графического методов в изучении квадратичной функции
- •1. Цели и задачи курса геометрии основной школы
- •2. Содержание обучения геометрии в 7-9 классах
- •3. Логические основы изложения геометрии в 7-9 классах
- •Аксиомы принадлежности
- •Аксиомы порядка
- •Аксиомы измерения отрезков и углов
- •Рекомендуемая литература
- •1. Методика изучения основных свойств простейших геометрических фигур
- •1. Учебник а. В. Погорелова: § 1 «Основные свойства простейших геометрических фигур»,
- •Определения «через ближайший род и видовые отличия»
- •Измерение отрезков и углов
- •3. Учебник а. Д. Александрова и др,: глава I «Начала геометрииж
- •2. Методика формирования геометрических понятий
- •3, Обучение решению задач на первых уроках геометрии
- •II группа
- •1. Различные подходы к формированию понятия равенства фигур
- •Что нужно знать, чтобы утверждать равенство треугольников abc и dek1
- •На рисунке 55 изображено два равных треуголь- ника. Написать равенство этих треугольников, обозначив их вершины.
- •Если разносторонние треугольники abc и dkm
- •11Ри иодом пример.
- •I (сн тральное место в изучении равных треугольников занимают признаём риионота треугольников.
- •Доказательство:
- •Доказательство:
- •Треугольники вас и cdb равны. Напишите все соотношения, из ко- торых следует равенство указанных треугольников.
- •Напишите соотношение между элемен- тами треугольников abc и adc, из которых следовало бы их равенство.
- •Какие методические подходы существуют к введению понятия ранено гва фигур в школьном курсе геометрии? Какой подход, на Ваш взгляд, милмется наиболее удачным?
- •В чем особенности введения понятия равных треугольников в разных учебниках геометрии?
- •Приведите примеры упражнений на усвоение понятия равных треугольников.
- •I. Цели и этапы изучения взаимного расположения прямых на плоскости
- •1 Различные подходы к введению понятия параллельности прямых на плоскости.
- •I. Методика изучения признаков параллельности прямых.
- •1, Цели и этапы изучения взаимного расположения прямых на плоскости
- •2. Различные подходы к введению понятия параллельности прямых на плоскости
- •4. Методические замечания к изучению перпендикулярности прямых на плоскости
- •В данной плоскости через точку вне данной прямой можно провести только одну прямую, параллельную данной.
- •Сумма внутренних углов треугольника равна 2d.
- •1. Различные подходы к изучению многоугольников
- •2. Методика изучения четырехугольников
- •Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны,
- •Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечении делятся пополам, то этот четырехугольник параллелограмм.
- •Какие из систем неравенств задают на плоскости трапецию и почему? Покажите штриховкой множество точек плоскости, заданное системой неравенств:
- •1 H найти площадь трапеции.
- •1, Имеет1 ли ось симметрии фигура, заданная системой неравенств:
- •Верно ли утверждение: а) любой правильный многоугольник является выпуклым; б) любой выпуклый многоугольник является правильным?
- •Чему равны градусные меры углов: а) правильного пятиугольника; б) правильного двенадцатиугольника; в) правильного тридцатишестиугольника?
- •Множество направленных отрезков плоскости.
- •Множество классов направленных отрезков плоскости.
- •Множество параллельных переносов плоскости.
- •Начертите равнобочную трапецию: а) существуют ли векторы, определяемые её вершинами и равные по длине? б) Сколько пар сонаправленных векторов задают вершины трапеции?
- •Сколько пар сонаправленных (противоположно направленных) векторов определяют вершины параллелограмма?
- •Начертить параллелограмм, обозна- чить его вершины и написать все равные ме- жду собой векторы, началом и концом кото- рых являются вершины параллелограмма.
- •Векторы а и ъ равны, что следует из этого?
- •3. Методика изучения действий с векторами
- •II. Умножение вектора на число
- •Учебник геометрии а. В. Погорелова.
- •Учебник геометрии j1. С. Атанасяна и Др.
- •Построить вектор, представляющий сумму
- •4. Методика обучения решению задач с помощью векторов
- •1. Дан многоугольник abcde. Представьте ad в виде суммы: а) двух; б) I рёх; в) четырех векторов, заданных вершинами этого многоугольника.
- •Представьте вектор ав в виде суммы векторов ас, dc , bd .
- •Вектор cDколлинеарен вектору ав и Выразите один век-
- •Четырехугольник abcd - квадрат. Упростите выражение { ав - 3 вс)2,
- •VI. Упражнения на нахождение длины вектора и величины угла между векторами.
- •Какие действия с векторами изучаются в школьном курсе геометрии?
- •Б) в треугольнике лвс известны длины всех сторон. Определить его углы.
- •II кн. До н. Э.) уже фактически пользовался прямоугольными координатами.
- •Простейшие задачи в координатах на плоскости
- •Уравнения фигур на плоскости
- •4. Особенности применения метода координат
- •5. Методика формирования координатного метода решения задач
- •Решение (координатный метод)
- •Iэтап(оптимальный выбор прямоугольной системы координат). Выберем прямоугольную систему координат так, как показано на рис. 93.
- •Этап (перевод задачи на координатный
- •Так как м середина стороны вс, то л/
- •Этап (решение задачи на координат- ном языке).
- •Рекомендуемая литература
- •Значение тригонометрических функций в школьном курсе математики и различные подходы к их изложению
- •I ермипы «косинус», «котангенс» и др. Появились в XI—XVII вв.
- •Этапы изучения линии уравнений, неравенств и их систем в
- •Системы уравнений с двумя переменными, в которых
- •Цели и этапы изучения взаимного расположения прямых на
- •Различные подходы к введению понятии параллельности пря
пониманию
необходимости введения новых чисел,
т.е. к расширению понятия числа. С
учащимися выясняется также такое
свойство множества натуральных чисел,
как бесконечность.
С
помощью координатного луча сравниваются
натуральные числа между собой,
устанавливаются понятия «равно»,
«больше» и «меньше» для натуральных
чисел. Важно, чтобы ученики усвоили
такие понятия, как «числа, следующие
за данным», «числа, предшествующие
данному», умели ответить на вопросы:
сколько чисел может непосредственно
следовать за данным, сколько чисел
может непосредственно предшествовать
данному, кроме 1. На этом этапе дает* ся
запись четного и нечетного чисел
формулами: 2п,
2п +
1.
Особое
внимание следует уделить действиям
над многозначными числами, трудным
случаям умножения и деления, действиям
с нулем и единицей и, в частности, «закону
поглощения 0
(а + 0 = а, 0 + а = а)».
Необходимо показать учащимся, что,
например, действия 1 • а
= а,
0 ■ а
= 0 являются, по существу, следствиями
из определения действия умножения, а
<я : 1 = а, я : а = 1, 0 : а = О, а
: К-
из определения действия деления.
После
изучения действий над натуральными
числами можно рассмотреть с учениками
вопрос о замкнутости множества
натуральных чисел относительно сложения
и умножения и отметить, что в отношении
вычитания это свойство не выполняется.
Большое
внимание в этой теме следует уделить
законам арифметических действий
(переместительному, сочетательному,
распределительному). В учебниках
математики они формулируются как
свойства сложения и умножения. Важно
показать глубокое теоретическое
значение законов, так как у учащихся
обычно создается впечатление, что
законы нужны лишь для упрощения
арифметических действий. В 5 классе
законы арифметических действий
записываются в общем виде с
использованием буквенной символики.
Рассмотрение коммутативного
(переместительного) и ассоциативного
(сочетательного) законов умножения
целесообразно связать с геометрическим
материалом, а именно с вычислением
площадей прямоугольников и объемов
прямоугольных параллелепипедов.
Второе
расширение понятия числа, с которым
встречаются учащиеся, заключается
в присоединении к целым неотрицательным
числам дробных положительных чисел.
На этом этапе следует добиться от них
того, чтобы они четко различали понятия
«дробь» и «дробное число». Для этого
следует обратить внимание учащихся на
то, что любое число л: из множества
дробных неотрицательных. чисел может
быть записано и виде дроби ,v
"
",
где т
eZ0,
п
eN.
Од-
п
2
по
и то же число можно записать разными
дробями. Гак, например, дроби
22
являются записями одного и того жв
чиолм.
9
И
125. Основные вопросы методики изучения дробей
8
24 7 23
Дроби
-, — служат для записи целых чисел, дроби
- или — служат для
3 8
8
записи
дробных чисел. Таким образом, дробь
может служить записью не только
дробного,
но и целого числа.
Усвоению
различия между дробными числами и
дробью способствует вы- 11
олнение упражнений, аналогичных
следующим:
Сколько
содержится в записи 0,40; ^; 0,4; 0; |; 0,33; |:
а) различных чисел; б) дробных чисел;
в) целых чисел?
х
Какое
значение принимает х, если дроби - и —
изображают одно и то же число?
Следует
заметить, что в учебнике иногда происходит
смешение понятий «дробь»
и «дробное
число».
Так, в младших классах дробь трактуется
как число, составленное из нескольких
долей единицы. Значит, понятие дроби
включает в себя понятие дробного
числа. Затем «дробь» используется для
названия чисел из множества Q0
и
для названия записи такого числа. Когда
говорят о действиях с дробями, то
имеют в виду числа из Q0,
когда же говорят о преобразовании
дробей, то понимают записи чисел из go,
так
как нецелесообразно обращать одно
число в другое. Поэтому с помощью
специально подобранных вопросов
необходимо приучать учащихся понимать
из контекста, о чем идет речь: о числе
или о его записи (символе).
Более
четкого пояснения требует и понятие
«десятичная
дробь».
При введении десятичных дробей основной
акцент в учебнике (см., например, Виленкин
Н.Я. и др. Математика - 5, М., 2000) делается
на то, что это дроби, которые можно
записать без знаменателя. Однако
знаменатель у десятичной дроби тоже
записан, но по иному правилу.
Десятичные
дроби изучаются рядом с натуральными
числами. Это закономерно, так как
действия с десятичными дробями во
многом аналогичны действиям с
натуральными числами, кроме тох'о,
имеется возможность использования
метрической системы мер, что облегчает
изучение десятичных дробей. При этом
сначала учащиеся знакомятся с
обыкновенными дробями, изучают сложение
и вычитание дробей с одинаковыми
знаменателями, сложение и вычитание
смешанных чисел. Полученные знания
помогают им в обосновании действий с
десятичными дробями.
Изучение
десятичных дробей в 5 классе осуществляется
в такой последовательности: 1)
десятичная запись дробных чисел; 2)
сравнение десятичных дробей; 3) сложение
и вычитание десятичных дробей; 4)
приближенные значения чисел,
округление чисел; 5) умножение десятичных
дробей на натуральные числа; 6) деление
десятичных дробей на натуральные числа;
7) умножение десятичных дробей; 8)
деление на десятичную дробь; 9) среднее
арифметическое (см. Виленкин Н. Я.
и др. Математика - 5, М., 2000).
Основное
внимание при изучении десятичных дробей
уделяется опера- пшпым умениям учащихся.
В качестве примера рассмотрим методику
изучении сложения и вычитания
десятичных дробей.
Эти два действия в назван-
13