- •Цели, содержание и структура курса математики 5-6 классов
- •Значение и место учения о числе в курсе математики общеобразовательной школы
- •5 Класс
- •6 Класс
- •3. Различные пути расширения понятия числа
- •4. Методика изучения натуральных чисел
- •4. Методика изучения натуральных чисел
- •5. Основные вопросы методики изучения дробей
- •5. Основные вопросы методики изучения дробей
- •6. Методика изучения положительных и отрицательных чисел
- •I. Основные типы преобразований и этапы их изучения
- •III этап. Организация целостной системы преобразований (синтез).
- •Буквенной части слагаемых пока остается первой.
- •1. Содержание и роль линии уравнений и неравенств в современном школьном курсе математики
- •2. Основные понятия линии уравнений и неравенств
- •I * hi лаже он и возникает по ходу обсуждения процесса решения, то ответ на не-
- •Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.
- •* Последовательность изучения линии уравнений и неравенств
- •I )гапы изучения линии уравнений, неравенств и их систем в основной школе
- •1* Курсе математики 5 класса понятие уравнения трактуется аналогично.
- •Основные классы неравенств изучаются сразу вслед за изучением со- »»I мотствующих классов уравнений.
- •I Ъшить уравнение - это значит найти все его корни или установить, что их нет.
- •Решение квадратных уравнений и неравенств
- •Il Графический метод (I способ)
- •Графический метод
- •Системы уравнений с двумя переменными, в которых одно или оба уравнения второй степени
- •Графический метод
- •Графический метод
- •Графический метод
- •Графический метод
- •Графический метод
- •Графический метод
- •Il Графический метод
- •Il Графический метод
- •Графический метод
- •Графический метод
- •Графический метод
- •Графический метод
- •1. Цели обучения решению текстовых задач
- •2. Пропедевтика алгебраического и геометрического методов решения текстовых задач
- •3. Этапы решения задач на составление уравнений и их реализация
- •Этап {перевод задачи на геометрический язык).
- •Этап (решение задачи на геометрическом языке).
- •1. Из истории введения понятия функциональной зависимости в школьный курс математики
- •2. Различные трактовки понятия функции
- •3. Методика введения понятия функции
- •Этап. Мотивация введетя понятия.
- •Исследовать функцию на основные свойства.
- •Использовать изученные свойства функций при решении различных задач, в частности уравнений и неравенств.
- •Влияние коэффициентов hub на поведение функции
- •Взаимное расположение графиков линейных функции
- •Б. Интеграция аналитического и графического методов в изучении квадратичной функции
- •1. Цели и задачи курса геометрии основной школы
- •2. Содержание обучения геометрии в 7-9 классах
- •3. Логические основы изложения геометрии в 7-9 классах
- •Аксиомы принадлежности
- •Аксиомы порядка
- •Аксиомы измерения отрезков и углов
- •Рекомендуемая литература
- •1. Методика изучения основных свойств простейших геометрических фигур
- •1. Учебник а. В. Погорелова: § 1 «Основные свойства простейших геометрических фигур»,
- •Определения «через ближайший род и видовые отличия»
- •Измерение отрезков и углов
- •3. Учебник а. Д. Александрова и др,: глава I «Начала геометрииж
- •2. Методика формирования геометрических понятий
- •3, Обучение решению задач на первых уроках геометрии
- •II группа
- •1. Различные подходы к формированию понятия равенства фигур
- •Что нужно знать, чтобы утверждать равенство треугольников abc и dek1
- •На рисунке 55 изображено два равных треуголь- ника. Написать равенство этих треугольников, обозначив их вершины.
- •Если разносторонние треугольники abc и dkm
- •11Ри иодом пример.
- •I (сн тральное место в изучении равных треугольников занимают признаём риионота треугольников.
- •Доказательство:
- •Доказательство:
- •Треугольники вас и cdb равны. Напишите все соотношения, из ко- торых следует равенство указанных треугольников.
- •Напишите соотношение между элемен- тами треугольников abc и adc, из которых следовало бы их равенство.
- •Какие методические подходы существуют к введению понятия ранено гва фигур в школьном курсе геометрии? Какой подход, на Ваш взгляд, милмется наиболее удачным?
- •В чем особенности введения понятия равных треугольников в разных учебниках геометрии?
- •Приведите примеры упражнений на усвоение понятия равных треугольников.
- •I. Цели и этапы изучения взаимного расположения прямых на плоскости
- •1 Различные подходы к введению понятия параллельности прямых на плоскости.
- •I. Методика изучения признаков параллельности прямых.
- •1, Цели и этапы изучения взаимного расположения прямых на плоскости
- •2. Различные подходы к введению понятия параллельности прямых на плоскости
- •4. Методические замечания к изучению перпендикулярности прямых на плоскости
- •В данной плоскости через точку вне данной прямой можно провести только одну прямую, параллельную данной.
- •Сумма внутренних углов треугольника равна 2d.
- •1. Различные подходы к изучению многоугольников
- •2. Методика изучения четырехугольников
- •Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны,
- •Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечении делятся пополам, то этот четырехугольник параллелограмм.
- •Какие из систем неравенств задают на плоскости трапецию и почему? Покажите штриховкой множество точек плоскости, заданное системой неравенств:
- •1 H найти площадь трапеции.
- •1, Имеет1 ли ось симметрии фигура, заданная системой неравенств:
- •Верно ли утверждение: а) любой правильный многоугольник является выпуклым; б) любой выпуклый многоугольник является правильным?
- •Чему равны градусные меры углов: а) правильного пятиугольника; б) правильного двенадцатиугольника; в) правильного тридцатишестиугольника?
- •Множество направленных отрезков плоскости.
- •Множество классов направленных отрезков плоскости.
- •Множество параллельных переносов плоскости.
- •Начертите равнобочную трапецию: а) существуют ли векторы, определяемые её вершинами и равные по длине? б) Сколько пар сонаправленных векторов задают вершины трапеции?
- •Сколько пар сонаправленных (противоположно направленных) векторов определяют вершины параллелограмма?
- •Начертить параллелограмм, обозна- чить его вершины и написать все равные ме- жду собой векторы, началом и концом кото- рых являются вершины параллелограмма.
- •Векторы а и ъ равны, что следует из этого?
- •3. Методика изучения действий с векторами
- •II. Умножение вектора на число
- •Учебник геометрии а. В. Погорелова.
- •Учебник геометрии j1. С. Атанасяна и Др.
- •Построить вектор, представляющий сумму
- •4. Методика обучения решению задач с помощью векторов
- •1. Дан многоугольник abcde. Представьте ad в виде суммы: а) двух; б) I рёх; в) четырех векторов, заданных вершинами этого многоугольника.
- •Представьте вектор ав в виде суммы векторов ас, dc , bd .
- •Вектор cDколлинеарен вектору ав и Выразите один век-
- •Четырехугольник abcd - квадрат. Упростите выражение { ав - 3 вс)2,
- •VI. Упражнения на нахождение длины вектора и величины угла между векторами.
- •Какие действия с векторами изучаются в школьном курсе геометрии?
- •Б) в треугольнике лвс известны длины всех сторон. Определить его углы.
- •II кн. До н. Э.) уже фактически пользовался прямоугольными координатами.
- •Простейшие задачи в координатах на плоскости
- •Уравнения фигур на плоскости
- •4. Особенности применения метода координат
- •5. Методика формирования координатного метода решения задач
- •Решение (координатный метод)
- •Iэтап(оптимальный выбор прямоугольной системы координат). Выберем прямоугольную систему координат так, как показано на рис. 93.
- •Этап (перевод задачи на координатный
- •Так как м середина стороны вс, то л/
- •Этап (решение задачи на координат- ном языке).
- •Рекомендуемая литература
- •Значение тригонометрических функций в школьном курсе математики и различные подходы к их изложению
- •I ермипы «косинус», «котангенс» и др. Появились в XI—XVII вв.
- •Этапы изучения линии уравнений, неравенств и их систем в
- •Системы уравнений с двумя переменными, в которых
- •Цели и этапы изучения взаимного расположения прямых на
- •Различные подходы к введению понятии параллельности пря
ших
классах на кружковых занятиях. Второй
вариант аналитического введения
тригонометрических функций - использование
аппарата рядов, в настоящее время такой
подход для средней школы представляется
нереальным.
Более
привычным для школы сегодня является
второй путь - геометрический,
который существует и совершенствуется
уже более ста лет. Имеется большое число
разновидностей этого пути. Самый
наглядный и простой из них является
введение тригонометрических функций
путем рассмотрения отношений сторон
в прямоугольном треугольнике. Основной
недостаток такого определения
тригонометрических функций - затруднения,
возникающие при переходе к углам,
большим прямого, и при переходе к
тригонометрическим функциям числового
аргумента. Попытки преодоления первой
из этих трудностей привели к разнообразным
по форме, но единым, по сути, подходам
- через так называемые тригонометрические
линии в круге, через отношения координат
радиус-вектора, через проекции единичного
вектора и т. п.
В
дальнейшем мы будем рассматривать лишь
второй путь, изучение которого
начинается в курсе геометрии основной
школы.
Тригонометрические
функции играют важную роль в математике
и ее приложениях. Они описывают связи
между сторонами и углами треугольников.
Тригонометрические функции и их
использование в курсе геометрии
позволяет рассматривать понятие функции
как важнейшее понятие математики,
связывая тем самым курсы алгебры и
геометрии. Велико значение тригонометрических
функций в формировании научного
мировоззрения: с их помощью геометрические
факты находят применение в практической
деятельности, в частности при проведении
различных измерительных работ на
местности, они являются моделью
многих периодических процессов (биение
сердца, зависимость напряжения в металле
от нагрузки на него и т. д.).
В
учебной литературе существуют различные
системы изложения тригонометрических
функций.
Ограничиваются
рассмотрением тригонометрических
функций острого угла прямоугольного
треугольника. Такой подход был реализован
в учебнике А. П. Киселева.
Вначале
вводят тригонометрические функции
острого угла прямоугольного
треугольника, доказывают несколько
теорем с их использованием, затем
распространяют понятие тригонометрических
функций на множество углов от 0°
до 180°, и рассматривают их различные
приложения. Такая система излагается
в учебнике А. В. Погорелова.
В
учебнике А. Д. Александрова и др.
рассматриваются параллельно
тригонометрические функции острого
и тупого углов.
Тригонометрические
функции сразу рассматривают на множестве
углов, изменяющихся от 0° до 180°,
затем частный случай от 0° до 90° -
248
Значение тригонометрических функций в школьном курсе математики и различные подходы к их изложению
Авторы учебников |
|
и/и А. В. Погорелое |
Л. С. Атанасян и др. |
8 класс |
|
| §7. Теорема Пифагора |
Глава VII. Подобные треугольники § 4. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника. |
1 Косинус острого угла прямоугольного | ре-угольника, теорема о зависимости косинуса угла только от градусной меры угла. |
Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника. |
Георема Пифагора (использование коей нуса угла для ее доказательства). |
Значения синуса, косинуса и тангенса для углов 30°, 45° и 60°. |
249
3. |
Определение синуса угла а, тангенса угла от (яг -острый угол) и теорема о зависимости их только от величины угла а. |
|
4. |
Основные тригонометрические тожде- sina ,2 2 1 ства: tga = ; sin or + cos a-1; cosor 2 l 1 l l l + rg ar= 2 ;l+, 2 = . 2 ■ cos or tg a sm a |
|
5. |
Значения синуса, косинуса, тангенса некоторых углов. Формулы: sin (90° -а) = cos a, cos(90° -a) = sina. |
|
6. |
Изменение синуса, косинуса и тангенса при возрастании угла. |
|
|
§8. Декартовы координаты на плоскости |
|
7. |
Определение синуса, косинуса и тангенса для любого угла от 0° до 180°. |
|
|
§10. Векторы |
|
8. |
Использование косинуса угла при изучении скалярного произведения векторов. |
|
|
9 класс |
|
|
§12, Решение треугольников |
Глава XI. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов. §1. Синус, косинус и тангенс угла а (0° < or < 180°) |
9. |
Теорема косинусов а2 = Ъ2 +с2 -2bccosA. |
Основное тригонометрическое тождество. sin2 а + cos2 а -1. Формулы приведения sin (90° -а) = cos a, cos(90° -a) = sina. |
10. |
Теорема синусов а b с sin A sin В sin С |
Формулы для вычисления координат точки. |
11. |
Соотношение между углами треугольника и противолежащими сторонами. |
§2. Соотношение между сторонами и углами треугольника |
12. |
Решение треугольников. |
Теорема о площади треугольника S =—absinC. 2 |
|
§13. Многоугольники |
Теорема синусов а Ъ с sin A siпВ sin С |
13. |
Использование тригонометрических функций при изучении формул для радиусов вписанных и описанных окружностей правильных многоугольников. |
Теорема косинусов а1 - Ъ2 + с2 - 2be cos А - обобщенная теорема Пифагора, |
|
§14. Площади фигур |
Решение треугольников. |
14. |
Использование тригонометрических функций при выводе формул для вычисления площади треугольника. |
|
В
учебнике А. В. Погорелова изложение
тригонометрических функций
осуществляется по схеме «от частного
к общему», а в учебнике Л. С. Атанасяна
и др. - «от общего к частному», причем
в первом учебнике наблюдается связь
изложения тригонометрических
функций с изложением геометрического
материала, тогда как во втором учебнике
применение тригонометрических функций
к обосно- манию геометрических
зависимостей более ограничено, чем
в первом.
а)
Введение понятий синуса, косинуса и
тангенса острого угла
прямоугольного
треугольника
Наиболее
принципиальными вопросами методики
изучения тригономет-
рических
функций острого угла прямоугольного
треугольника являются: 1)
инедение
понятий синуса, косинуса и тангенса
острого угла и 2) доказательство
шниеимости
их только от градусной меры угла.
Перед
введением понятий синуса и косинуса
угла желательно выпол-
шпъ упражнения
на выделение катетов прямоугольных
треугольников, приле-
жащих к углу,
противолежащих углу, на составление
отношений катетов к ги-
пок* пузе.
После
выполнения упражнений вводятся
определения синуса, косинуса
и I
апгенса острого угла прямоугольного
треугольника.
Определение
L
Синусом
острого угла прямоугольно-
го
треугольника называется отношение
противолежащего
катета к гипотенузе
(рис. 95). Обозначение.
sin
а.
Определение
2. Косинусом острого угла прямо-
угольного
треугольника называется отношение
прилежа-
щего катета к гипотенузе.
Обозначение,
cos
а.
Определениие
5. Тангенсом острого угла прямо-
угольного
треугольника называется отношение
противо-
лежащего катета к
прилежащему. Обозначение,
tga.
|
• л ВС S1ПЛ = —, АВ |
(1) |
|
А ЛС cos А- , АВ |
(2) |
|
а ВС tgA = . АС |
(3) |
251
3.
Затем доказывается утверждение: если
острый угол одного прямо-
угольного
треугольника равен острому углу другого
прямоугольного треуголь-
ника,
то
синусы этих углов равны, косинусы этих
углов равны и тангенсы этих
углов
равны.
Доказательство основано на первом
признаке подобия треуголь-
ников (В
учебнике А. В. Погорелова аналогичное
утверждение доказывается с
помощью
теоремы о пропорциональных отрезках).
Действительно, пусть ABC
и
А
\В\
С] - два прямоугольных треугольника с
прямыми углами С и С\
и равными
острыми углами А
и А\.
Треугольники ABC
и
А\В\С\
подобны по первому при-
*
АВ
ВС АС
тт
знаку
подобия треугольников, поэтому —- = = .
Из этих равенств
А
^В
j
В
ЛС
х
А1С1
ВС
В С А С А С
следует,
что — = —2—L,
то
есть sin
А
= sin
Ах.
Аналогично — = —L-Ч
то есть
J АВ
А,В, АВ АхВг
ВС
в
с
cos
А
= cos
Аь
и — = Ц то есть tg
A =tgA\.
Что
и требовалось доказать.
АС
АХСХ
Из
этого утверждения следует, что косинус
угла (а также его синус) не
зависит
от расположения треугольника, а зависит
только от градусной меры уг-
ла.
Доказательство независимости тангенса
острого угла от размеров треуголь-
ника
следует из представления тангенса угла
через отношение синуса и косину-
са
этого угла.
После
доказательства этого утверждения
необходимо выполнить с уча-
щимися
несколько упражнений на построение
угла по заданному косинусу (си-
нусу)
этого угла.
Основное
тригонометрическое тождество
sin2
А
+
cos2
А
=
1 получается
из равенств (1) и (2).
.
2
j
2
л
ВС2
АС2
ВС2
+ АС2
sin
А
+ cos
А
-
—г + -
АВ2
АВ2
АВ2
По
теореме Пифагора ВС2
+ АС2
= АВ2,
поэтому
sin2
А
+ cos2
А
=
1.
После
доказательства этих утверждений
учащиеся находят сначала значение
синуса, косинуса и тангенса для углов
30° и 60°, а затем для угла 45°, при этом
используются определения синуса,
косинуса и тангенса угла, основное
тригонометрическое тождество и теорема
Пифагора.
В
учебнике А. В. Погорелова понятие
косинуса угла используется при
доказательстве теоремы Пифагора, а в
учебнике JL
С.
Атанасяна и др. теорема Пифагора к этому
времени уже доказана и доказательство
её основано на понятиях площади
квадрата и прямоугольника.
Тригонометрические
функции острого угла используются для
решения прямоугольных треугольников.
Они позволяют, зная одну из сторон
прямоугольного треугольника и острый
угол, находить две другие стороны: зная
две стороны, находить острые углы.
Доказательство
утверждения о том, что для
любого острого угла а sin(90°-a)
= cosa, cos(90° -а)
-
sin
а
могут
провести сами учащиеся, выполняя
упражнение:
Упражнение.
Дан
прямоугольный треугольник ABC
с
острым углом а
при
вершине А.
Напишите значение синуса и косинуса
углов А
и В,
сравните их
252
и
сделайте вывод.
В
учебнике А. В. Погорелова рассматривается
теорема об изменении
sin
a, cos а
и
tg
а
при
возрастании угла а,
в
частности, об убывании cos
а
и
ее
доказательство. Она может быть «открыта»
учащимися самостоятельно пу-
тем
наблюдения за моделью, которая отражает
эту зависимость.
Модель
можно изготовить из спиц (рис. 96).
Одна
спица АВ
крепится неподвижно, другая
спица
А
С
закрепляется в точке А
и может вра-
щаться вокруг нее, занимая
положения АСЬ
АС2
и
т.д. Эта модель хорошо иллюстрирует
зави-
симость между изменением угла
а\
который
образуется спицами АВ
и АС
и косинусом угла
а
(такую модель можно продемонстрировать
и
с помощью компьютера).
Следующий
важный момент в изучении три-
гонометрических
функций -
введение
sin
a, cos а
и
tg
а,
где 0° < а
< 180°.
Рис.
96
б)
Определение синуса, косинуса и тангенса
любого угла от 0° до 180°
Мотивация
расширения области определения
тригонометрических функ-
ций может
быть осуществлена следующим образом.
Учитель напоминает уча-
щимся, что
им уже известны некоторые зависимости
между сторонами тре-
угольника: 1) в
любом треугольнике каждая сторона
меньше суммы двух дру-
I их сторон;
2) в прямоугольном треугольнике квадрат
гипотенузы равен сумме
квадратов
его катетов.
Возникает
вопрос. Нельзя ли так же определённо,
как и для прямоугольно-
к) треугольника,
выразить зависимость между сторонами
любого треугольника?
Га кая зависимость
существует. Однако для ее выявления
необходимо расширить
понятие косинуса
острого угла на любой угол от 0° до 180°.
В
учебнике А. В. Погорелова это делается
следующим образом. Берется
окружность
на плоскости ху
с центром в точке О
радиуса R
(рис.
97). От поло-
жительной полуоси х
в верхнюю полуплоскость откладывается
угол а.
Пусть
х
и у координаты точки А,
тогда для
х
. у у
острого
угла се
cosа
= —,
sma
= —,tga
= —.
R R х
Затем
значения sin
а,
cos
а
я tg
а
определя-
ются этими формулами для
любого угла а.
(Для tg
а
угол а
*90°.)
При
таком определении sin
90°
= 1;
cos
90°
= 0; sin
180°=
0; cos
180° = -1; г&180°
= 0.
Если
считать, что совпадающие лучи образу-
ют
угол 0°, будем иметь:
sin
0°
= 0; cos
0°
= 1; tg
0°
= 0.
253
Необходимо
акцентировать внимание учащихся на
том, что при изменении а
от 0° до 180° каждому значению а
соответствует единственное значение
cos
а
и
единственное значение sin
а;
при изменении а
от
0° до 90° (0° < а
<
90°) и от 90° до 180° (90° < а <180°) каждому
значению а
соответствует единственное значение
tg
а.
Таким образом, косинус и синус являются
функциями угла
а,
где 0°
< а
< 180°,
а тангенс - функцией угла а,
где 0°
< а
< 90° и
90° <
а
<180°.
Функции
sin
a, cos а
и
tga
называются
тригонометрическими
функциями.
Введенное
определение sin
a, cos а
и
Наследует закрепить с помощью
упражнений типа:
Упражнение.
Вычислить cos
120°,
sin
120°
и tg
120°,
используя определения sin
а,
cos
а
и
tg
а.
После
сообщения этих фактов доказывается
теорема, что для любого угла а,
0°< а
<
180°
sin
(180°
- а)
-
sina,
cos
(180°--а)
=
- cos
а.
Для
угла а*90°,
/g(180°-
a)
= -tg
а
.
Необходимо
подчеркнуть практическую значимость
теоремы: она позволяет сводить
вычисления sin
а,
cos
а
(0°
< а
<
180°)
и
tg
а,
а
ф
90°,
к вычислению синуса, косинуса и
тангенса острого угла.
После
определения косинуса угла а
(0°<а<180°)
с учащимися обсуждается зависимость
между сторонами треугольника, задаваемая
теоремой косинусов. Следует обратить
внимание учащихся на то, что теорема
Пифагора является её частным случаем.
В учебнике Л. С. Атанасяна и др.
доказательство теоремы косинусов
основано на координатном методе (В
учебнике А. В. Погоре- лова на векторном
методе).
Затем
сообщается и доказывается теорема
синусов. Теорема синусов эффективна
тогда, когда заданы два угла и сторона
треугольника, теорема косинусов
используется, если заданы две стороны
и угол между ними. Далее выражается
связь между стороной правильного
треугольника и радиусом описанной
(вписанной) окружности, площадью
треугольника и произведением длин двух
его сторон. Тригонометрические функции
используются также при выводе формулы
площади крута и формулы Герона.
В
учебнике JI.
С.
Атанасяна и др. для 9 класса тригонометрическим
функциям и соотношениям между сторонами
и углами треугольника посвящена
отдельная глава (см. Таблицу 1). В отличие
от учебника А. В. Погорелова синус угла
а
(0° < а
<
180°) вводится здесь как ордината
у
точки
М
перечения луча h,
образующего с положительной полуосью
абсцисс угол а,
и единичной полуокружности; косинус
угла
- абсцисса х
точки
М.
Определение
синуса и косинуса угла а
в учебнике являются генетическими
определениями: вначале разъясняется
происхождение точки М,
а
затем говорится, что «синусом угла а
называется
ордината у точки М, косинусом угла -
абсцисса х точки М».
254