Задача 3. Доказать, что два перпендикуляра к одной и той же прямой па­раллельны.

При ее решении можно опираться на единственность перпендикуляра к прямой, проходящего через данную точку. Если изучение перпендикулярности прямых предшествует изучению параллельности прямых, то эта задача рас­сматривается как теорема — признак параллельности прямых.

Задача 4. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к данной прямой, то другая из параллельных прямых также перпендикулярна к этой прямой.

Эта задача вытекает как частный случай из теоремы о свойстве углов, об­разуемых при пересечении двух параллельных прямых третьей прямой.

Историческая справка

Среди аксиом Евклида была такая (обычно называемая пятым постулатом): «Две пря­мые, которые при пересечении с третьей образуют с ней по одну сторону внутренние углы, в сумме меньше двух прямых, при продолжении в ту же сторону пересекаются».

Легко доказать, что пятый постулат Евклида равносилен таким предложениям:

1. В данной плоскости через точку вне данной прямой можно провести только одну прямую, параллельную данной.

2. Сумма внутренних углов треугольника равна 2d.

Если принять одно из этих предложений, то нетрудно вывести (доказать) пятый посту­лат Евклида.

Характерной чертой всей греческой математической мысли было стремление освободить изложение геометрии от вьюодов, основанных на наглядности. Чертеж есть иллюстрация, об­легчающая понимание, а не способ доказательства. В пятом же постулате мы более доверяем нашим зрительным ощущениям. Это вызвало желание доказать пятый постулат, вывести его (или равносильное ему предложение) из других аксиом. Попытки доказать пятый постулат длились около 2000 лет.

Доказательств было много, но каждое из них содержало ту или иную логическую ошибку, и всякий раз постулат оказывался недоказанным. Бесплодно затратив силы, средства и жизнь на доказательство пятого постулата, многие люди впадали в уныние и отчаяние. В не­доказуемости его начали усматривать проявление божественной силы.

Пятый постулат доказан не был, но двухтысячелетние усилия ученых подготовили почву для нового великого открытия в геометрии. К этому великому открытию подошли почти одновременно и независимо друг от друга русский ученый Николай Иванович Лобачевский (1792— 1856), венгерский ученый Янош Б о й а й (1802—1860) и не­мецкий математик Карл Г а у с с.

Первым и в более совершенной форме опубликовал свои работы Н. И. Лобачевский. 23 февраля 1826 г. на заседании физико-математического отделения Казанского университета Лобачевский сделал доклад о своем открытии.

Впервые в мировой науке Лобачевский признал пятый постулат недоказуемым, заме­нив его новым предположением: через точку вне данной прямой и в одной с ней плоскости можно провести более чем одну прямую, не пересекающую данную прямую. Он показал, что это предположение ведет не к противоречию, а к своеобразной геометрической системе, отличной от геометрии Евклида.

Мысли, которые Лобачевский высказал в своем докладе, были так новы, так необычны, что не были поняты даже выдающимися математиками того времени. Лишь единицы, например профессор Казанского университета П. И. Котельников, признали новое великое открытие, но

200

их голос не был услышан. Лобачевского высмеивали, но это не заставило великого ученого отказаться от своих идей.

Через 12 лет после его смерти была найдена поверхность, на которой справедлива но- кая геометрия. Постепенно новые идеи были поняты, получили всемирную известность и признание. Геометрию, основанную на идеях Лобачевского, мы называем сегодня геометри­ей Лобачевского.

Геометрия Евклида — геометрия земных пространств и расстояний.

Геометрия Лобачевского — геометрия гигантских межпланетных и исчезающе малых атомных пространств, она включает в себя геометрию Евклида как составную часть, как ча­стный случай. Точные астрономические и физические наблюдения подтвердили теоретиче­ские выводы геометрии Лобачевского.

Вопросы и задания

1. Назовите цели изучения темы о взаимном расположении прямых на плоскости.

2. Каковы этапы изучения взаимного расположения прямых и плоскостей и школьном курсе математики?

3. Какие подходы существуют к введению понятия параллельности пря­мых на плоскости?

4. Как решается вопрос о существовании параллельных прямых в разных учебниках?

5. Сформулируйте аксиому параллельных прямых в разных вариантах.

6. Составьте вопросы для актуализации знаний, которые необходимы учащимся при доказательстве первого признака параллельности прямых.

7. В чем сущность доказательства «методом от противного»?

8. Подберите задачи на применение признаков параллельности прямых. К одной из задач составьте вопросы, направляющие поиск решения.

9. Как определяются перпендикулярные прямые в школьном курсе мате­матики и как показывается их существование?

10. Оформите запись доказательства теоремы о серединном перпендику- чире к отрезку в виде таблицы: «Утверждения - обоснования».

11. Что означают в формулировке теоремы слова «в том и только том с лучае», «тогда и только тогда»?

12. Проанализируйте учебники геометрии А. Д. Александрова, В. А. Гу- гева, И. Ф. Шарыгина с точки зрения изучения данной темы, выявите особен- 11»>сти, сделайте выводы.

13. Какие геометрии, кроме геометрии Евклида вы знаете? В чем отличие геометрии Лобачевского от геометрии Евклида?

14. Подготовьте сообщение о жизни и деятельности Н. И. Лобачевского.

Рекомендуемая литература

I А л е к с а н д р о в, А. Д., В е р н е р А. Л., Р ы ж и к В. И. Г еометрия: Учеб. для 8-9 классов сред, школы / А.Д. Александров, А.Л. Вернер, В.И. Рыжик. ~ М.: Просвещение, 1992.

Л 1> а ш м а к о в, М. И. Математика: Эксперимент, учеб. пособие для СПТУ / М. И. Башма­ков ~ М.: Высш. шк., 1987. - 463 с.

201

3. Геометрия 7-9: Учеб. для общеобразоват. учреждений / Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. - 13-е изд. - М.: Просвещение, 2003. - 384 с.

4. Г л е й з е р Г. И. История математики в школе: VII - VIII кл. Пособие для учителей. - М. : Просвещение, 1982.

5. Г у с е в, В. А. Геометрия. 8 класс / В. А, Гусев. - М.: «Тид «Русское слово - РС», 2004.

6. Марков, С. Н. Курс истории математики: Учеб. пособие / С. Н. Марков. - Иркутск: Изд-во Иркут, ун-та, 1995. - 248 с.

7. Методика и технология обучения математике. Курс лекций: пособие для вузов / под научн. ред. Н. JI. Стефановой, Н. С. Подходовой. - М.: Дрофа, 2005. - 416 с.

8. Методика преподавания математики в средней школе: Частная методика: Учеб. пособие для студентов пед. ин-тов по физ.-мат. спец. / А .Я. Блох, В.А. Гусев, Г.В. Дорофеев и др.; Сост. В.И. М и ш и н. - М.: Просвещение, 1987. - 416 с.

9. О р л о в, В. В. Организация обучения поиску решения планиметрических задач / В.В. Орлов - Математика в школе. - 1996. - № 1. - С. 5 - 7.

10. П о г о р е л о в, А. В. Геометрия. Учеб.для 7 - 11 кл. сред. шк. / А.В. Погорелов. - 3-е изд. - М.: Просвещение, 1991. - 384 с.

11. Преподавание геометрии в 6-8 классах: Сб. статей / Сост. В. А. Гусев. - М.: Просвещение, 1979.

12. Р о г а н о в с к и й, Н. М. Поисковые задания по геометрии / Н. М. Рогановский // Математика в школе. -1990. -№ 5. -С, 22 - 26.

13. С а р а н ц е в, Г. И. Обучение математическим доказательствам в школе: Кн. для учителя / Г.И. Саранцев. - М.: Просвещение, 2000. - 173 с.

14. Т е с л е н к о, И. Ф. О преподавании геометрии в средней школе: Кн. для учителя / И.Ф. Тесленко. - М.: Просвещение, 1985.

15. Т а р д ж е м а н о в, Д. А. Юность Лобачевского (Рождение гения) / Д. А. Тарджеманов: Татарское книжное изд-во, Казань, 1968. - 302 с.

16. Ш а р ы г и н, И. Ф. Геометрия 7 - 9 / И.Ф. Шарыгин. - М.: Дрофа, 1999.

17. Школьные учебники геометрии разных авторов.

18. http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9B%D0%BE%D0%B 1 %D0%B0%D 1 %87%D0%B5%D0% B2%D 1 %81 %D0%BA%DQ%B8%D0%B9

19. http://www.hrono.ru/biograf/lobachevski.html

20. http://taina.aib.ru/biography/nikolaj-lobachevskij.htm

202