4.5. Преобразование синтаксической диаграммы в конечный автомат

КА распознающий лексемы определенных типов (идентификаторы, константы и др.), можно получить используя соответствия между регулярными выражениями (регулярными определениями ) , синтаксическими диаграммами, регулярными грамматиками и КА . Для этого надо использовать соответствующии цепочки преобразований. Рассмотрим правила этих преобразований на конкретном примере .

Пример 4.8. Пусть задано регулярное определение , описывающее вещественные константы, приведенное в примере 4.6, п.5. Синтаксис , задаваемый этим определением, можно задать и при помощи синтаксической диаграммы , показанной на рис.4.3, где Ц - терминальный символ ЦÎ{0,1,...,9}.

Рис .4.3

Легко проверить , что и регулярное определение и синтаксическая диаграмма задают один и тот же язык - множество цепочек , соответствующих различным формам записи вещественных констант.

Рассмотрим теперь следующие преобразования .

Преобразование : синтаксическая диаграмма ® регулярная грамматика.

Для выполнения такого преобразования надо разметить синтаксическую диаграмму нетерминальными символами , используя следующие правила :

1. вершина синтаксической диаграммы помечается начальным символом грамматики S ;

2. между двумя подряд идущими терминальными символами вставляется нетерминальный символ AÎ N ;

3. перед альтернативой (разветвлением на несколько ветвей) ставиться только один нетерминальный символ AÎN ;

4. перед выходящими ветвями итерации (цикла ) ставится один нетерминальный символ .

В данном примере размеченная по этим правилам синтаксическая диаграмма будет иметь следующий вид, показанный на рис.4.4 .

Далее следует записать правила грамматики для каждого нетерминального символа. Все правила должны иметь вид : A® aB или A® a, где A , B Î N , a Î S È {e} (регулярная грамматика ) . При задании условий следует пользоваться следующими правилами :

1. Если два нетерминала А и В связаны одной ветвью направленной от А к В и содержащей терминал а, то правило имеет вид А ® аВ.

Рис. 4.4

2. Если два нетерминала А и В связаны несколькими ветвями, направленными от А к В и содержащими терминалы a,b,..c, то правило имеет вид А® аВ½bB½...½cB.

3. Если среди ветвей, связывающих нетерминалы А и В, содержится пустая (не содержащая терминалов) ветвь и имеется ветвь, связывающая В и С, содержащая терминал а , тогда правило имеет вид А® аС , то есть нетерминал В пропускается .

Применяя эти приемы к размеченной синтаксической диаграмме, показанной на рис. 4.4, получим следующую регулярную грамматику G:

S ® +A ½ . A ½цC

A ® .B ½öC

B ® цD

C ® цC ½. D ½ EF

D ® цD ½ EF ½ e

F ® +I ½ -I ½ цJ

I ® цJ

J ® цJ ½ e

Преобразование : регулярная грамматика ® КА

Преобразуем множество правил Р грамматики G в КА по следующим правилам :

1. множество нетерминалов грамматики G становится множеством символов состояний автомата M, т.е. Q = N;

2. начальный символ S грамматики G становится символом начального состояния автомата М ;

3. для каждого правила (А® аВ)ÎР грамматики G будем писать d(А,а)=В , где d - функция переходов автомата М ;

4. символами заключительных состояний автомата М становятся нетерминалы А , входящие в правила вида А® е , т.е.

F = {A / (A®e) Î P}.

В нашем примере Q = {S , A , B , C , D , F , I , J} , запишем функцию переходов автомата М :

d (S , +) = {A} , d (C , . ) = {D} , d (J , ц) = {J} ,

d (S , - ) = {A} , d (C , E) = {F} ,

d (S , . ) = {B} , d (D , ц) = {D} ,

d (S , ц) = {C} , d (D , E) = {F} ,

d (A , . ) = {B} , d (F , +) = {I} ,

d (A , ц) = {C} , d (F , - ) = {I} ,

d (B , ц) = {D} , d (F , ц) = {J} ,

d (C , ц) = {C} , d (I , ц) = {J} ,

Множеством заключительных состояний является множество {D , J} ( так как (D® e), (J® e)ÎP).

Функция переходов автомата М представлена в виде графа переходов, (рис.4.2)

Рис. 4.2

Таким образом , мы получим тот же самый автомат М , что и в примере 4.6 .

Замечание : Если в множестве правил Р содержатся правила вида В® b , BÎN , bÎS , то :

Q = N È {выход};

d (B , b) = {выход} для всех BÎN и bÎS ;

F ={A / (A® e)ÎP} È {выход}.

Другими словами, к множеству состояний автомата М добавляется еще одно состояние - заключительное «выход» (придумайте соответствующую этому случаю синтаксическую диаграмму и преобразуйте ее в автомат в качестве упражнения ). ¨