Принцип составления уравнений колебаний в матричной форме на примере одноосной модели с двумя степенями свободы.

Данная модель используется при исследовании совместных колебаний подпрыгивания кузова и тележек при движении по абсолютно жесткому пути подвижного состава имеющего две ступени подвешивания. В модели масса m₁ – это суммарная масса тележки, масса m₂ – это масса кузова. Каждая из масс может совершать вертикальные колебания, поэтому система имеет две степени свободы.

Пружина жесткостью Ж₁ и гаситель с коэффициентом затухания β₁ эквивалентный буксовому подвешиванию, а пружина и гаситель с параметрами Ж₂ и β₂ эквивалентный центральному подвешиванию. Составим уравнение сил, действующих на каждую массу в соответствии с принципом Даламбера, для этого поочередно зафиксируем каждую из масс. Для массы m₁ уравнение действующих сил будет иметь следующий вид:

Фиксируем m₁ , будет уравнение для массы m₂

Выражение для сил входящих в уравнение с учетом

имеет вид:

Подставляя силы в уравнение, получим уравнение колебаний динамической нагрузки:

+

Для массы m₂ имеем:

Полученные уравнения колебаний в совокупности представляют собой систему дифференциальных уравнений. Колебания обоих масс связаны, так как в оба уравнения входят обобщенные координаты скоростей, перемещений и ускорений. Между координатами в этой системе имеется упругая диссипативная связь.

Правило записи в матричную форму.

1. Записываются полученные уравнения в систему. При этом в каждом уравнении на первом месте стоят члены относящиеся к координате z₁, начиная с производной наивысшего порядка.

2. Заготавливаются формы матриц М, В, Ж размером k×k.

3. Заполняются матрицы начиная с координаты z₁ и т.д.

Матрица М является диагональю, если отсутствуют инерционные связи между координатами. При наличии этих связей в матрице появляются элементы не стоящие на диагонали.

Матрица В и Ж являются пропорциональными, если гидравлические гасители стоят параллельно каждому упругому элементу отклонение любой из масс на своей координате вызывает появление упругих и диссипативных сил, препятствующих этому отклонению, поэтому такая система является устойчивой.

Вынужденные колебания динамических систем.

Если внешнее воздействие представляют собой процесс конечной или бесконечной длительности, то движение системы называют вынужденным.

При конечном времени внешнего воздействия в линейной системе происходят неустановившиеся колебания (прохождение стрелочного перевода, торможение и т.п.).

При бесконечном времени воздействия возмущений в механической системе могут возникать установившиеся колебания (при непрерывном движении в течении длительного времени по пути с геометрическими неровностями).

При рассмотрении установившихся процессов движения в системе с демпфированием считается, что все переходные процессы обусловленные свободными колебаниями прекратились. Реакции системы на входное возмущение описывают вынужденные колебания системы. Они представляют собой частное решение системы неоднородных уравнений обращающих данную систему в тождество:

Для нахождения q(обобщенных координат) используют следующие методы:

1. Аналитическое решение – непосредственный подбор аналитического выражения q преобразующего систему в тождество (k ≤ 2);

2. Интегрирование системы уравнений – используют для линейных и нелинейных систем при любом k. При этом генерируют заданный вид возмущения Q и интегрируя систему получают графики изменения всех выходных координат q;

3. Операторный метод – находят изображение реакции q у передаточной функции системы;

4. Частотный метод – используют для исследования установившихся вынужденных колебаний линейных систем любого порядка.

Наиболее приемлемыми методами являются непосредственные интегрирования на ЭВМ и частотный метод.