- •20. Метод наименьших квадратов(мнк)
- •25. Численное дифференцирование. Метод неопределенных коэффициентов.
- •26. Формула численного дифференцирования, основанные на применении интерполяционных формула Лагранжа.
- •27. Численное интегрирование. Метод прямоугольников.
- •28. Численное интегрирование. Метод трапеций.
- •29. Численное интегрирование. Метод парабол.
- •30. Квадратурные формулы Ньютона-Котеса.
- •31. Задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения (оду) 1 порядка. Метод Эйлера.
- •32. Численное решение задачи Коши для оду 1 порядка методом Рунге-Кутта.
- •33. Система оду I порядка. Метод Эйлера.
- •34. Система оду I порядка. Метод Рунге-Кутта.
- •35. Конечно-разностный метод решения дифференциальных ур-ий I порядка. Построение конечно-разностной схемы.
- •36. Краевая задача для линейного обыкновенного дифференциального ур-я II порядка. Построение конечно- разностной схемы.
- •37. Первая краевая задача для уравнения теплопроводности. Явная конечно – разностная схема.
- •38. Первая краевая задача для уравнения теплопроводности. Неявная конечно-разностная схема.
- •41. Краевая задача для диф. Ур-ий частных производных
леэ19. Обработка экспериментальных данных.
На практике часто возникает следующая задача. Известно экспериментальная таблица где n – количество проведенных экспериментов:
-
xi
x1
x2
…
xn
yi
y1
y2
…
yn
На основе этой таблице необходимо получить зависимость между величинами x и y . В общем случае в эту зависимость могут входить некоторые параметры, поэтому такая зависимость в более общих случаях имеет вид .
Уравнение (1) или (2) называют уравнением связи или еще эмпирическим уравнением. Решение этой задачи проводится в два этапа: 1) Определение вида ф-ии . 2) нахождение параметров
Определение вида фун-ии .
Вид фун-ии иногда можно определить из физических или других соображениях. Например, если рассматривать равноускоренное или равнозамедленное движение то пройденный путь S и t связаны квадратичной фун-ией: . Если теоретическая предпосылка отсутствует то для определения вида функции можно использовать графический способо, который заключается в следующем: Берется система координат связанная с хар-ом решаемой задачей. На эту систему наносят экспериментальные точки.
Затем проводят кривую которая наилучшим образом соответствует этим экспериментальным точкам. Сравнивая эту кривую с графиками известных фун-ий, определяют вид функции . На практике отдаю предпочтения наиболее простым зависимостям. Рассмотрим некоторые из них: 1) линейная зависимость , Введем в рассмотрение k: (4), где . Если коэффициент ki=const приближенно равны между собой, то использование линейной зависимости яв-ся обоснованным.
Если при этом , то достаточно проверить постоянство .
2) квадратурная зависимость:
Введем в рассмотрение li: , где
Если li≈const, то использование квадратичной зависимости является оправданием.
li – дискретный аналог II производной.
Если при этом , то достаточно проверить
Замечание1. Иногда к простым зависимостям удается привести другие функциональные связи, н-р, если имеется зависимость , то путем логарифмирования ,
Замечание2. Если на всем отрезке [a;b] трудно определить зависимость, подходящего для описания экспериментальных данных, то можно поступить следующим образом, отрезок [a;b] разделить на несколько частей и в каждой из них использовать некоторую простую зависимость . А в точках стыка можно оставить условие, обеспечивающее непрерывность всей функции в целом.
20. Метод наименьших квадратов(мнк)
Математически наиболее обоснованным и эффективным яв-ся метод МНК. Допустим что первая часть задачи решается, т.е. определен вид ур-я связи: , где a1,…,am –неизвестные параметры. Введем в рассмотрение величину - погрешность i-го эксперимента .
Вводится далее среднеинтегральная хар-ка : -интегральная сумма
здесь - ф-я от неизвестных параметров.
Идея МНК.
Неизвестные параметры a1,…,am определяют так, чтобы величина была минимальной. Таким образом задача сводится к минимизации функциональных переменных.
Такая задача решается с помощью частных производных, находят все частные производные первого порядка и приравниваются к нулю
Систему (10) называют нормальной системой МНК. Выведем системы для нормального случая.
Решая эту систему ур-ий определяют значение неизвестных коэффициентов и подставляют эти значения в фун-ю (7). Полученную аппроксимирующую фун-ю можно использовать для приближенного вычисления значения величины y для
21. Линейное приближение квадратов по МНК.
Построим систему для такого вида уравнения связи:
22. Квадратичное приближение квадратов по МНК.
Свойства 1. Матрицы систем (15),(19) является симметричным,если
23. Полиномиальное приближение по МНК.
Свойство 2
Матрица системы (23) является симметричной матрицей.
24. Численное дифференцирование. Формулы численного дифференцирования основанные на применении ИПН.
На практике часто возникает следующая задача: необходимо найти производные указанных порядков от таблично заданной функции.
Постановка задачи
На [a;b] дано разбиение
,
-
xi
x0
x1
…
xn
yi
y0
y1
…
yn
Формулы численного дифференцирования основанные на применении ИПН.
Д ругим способом решения задачи численного дифференцирования явл-ся использование интерполяционных полиномов. Основная идея этого подхода заключается в следующем. Сначала на основе известной информации фун-ию заменяют приближенно: - интерполяционный полином. Затем за производную от фун-ии приближенно принимают производную от полинома: . Если нужны производные более высоких порядков, то поступают аналогичным образом .
Примечание. Обратимся к геометрической иллюстрации основной задачи фун-ии интерполирования.
Пусть на нужны f’(x). Построим в точке x1 касательную к полиному и фун-ии. Угловые коэффициенты касательных . На [a;b] возьмем систему равноудаленных точек
Нужно найти
Для решения задачи используем первый Интерполяционный полином Ньютона. Он имеет вид
(10)
Для удобства при дифференцировании перейдем к q
; Из (1) ;
Для удобства при дифференцировании перемножим биномы в (12)
Формула для вычисления производной 1-го порядка:
Формула вычисления производной II го порядка:
Если нужны формулы для производных более высоких порядков, дифференцирование продолжается аналогичным образов.