- •20. Метод наименьших квадратов(мнк)
- •25. Численное дифференцирование. Метод неопределенных коэффициентов.
- •26. Формула численного дифференцирования, основанные на применении интерполяционных формула Лагранжа.
- •27. Численное интегрирование. Метод прямоугольников.
- •28. Численное интегрирование. Метод трапеций.
- •29. Численное интегрирование. Метод парабол.
- •30. Квадратурные формулы Ньютона-Котеса.
- •31. Задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения (оду) 1 порядка. Метод Эйлера.
- •32. Численное решение задачи Коши для оду 1 порядка методом Рунге-Кутта.
- •33. Система оду I порядка. Метод Эйлера.
- •34. Система оду I порядка. Метод Рунге-Кутта.
- •35. Конечно-разностный метод решения дифференциальных ур-ий I порядка. Построение конечно-разностной схемы.
- •36. Краевая задача для линейного обыкновенного дифференциального ур-я II порядка. Построение конечно- разностной схемы.
- •37. Первая краевая задача для уравнения теплопроводности. Явная конечно – разностная схема.
- •38. Первая краевая задача для уравнения теплопроводности. Неявная конечно-разностная схема.
- •41. Краевая задача для диф. Ур-ий частных производных
32. Численное решение задачи Коши для оду 1 порядка методом Рунге-Кутта.
Существует семейство методов Рунге-Кутта, расм-м вариант метода, который наиболее часто применяется на практике.
Отрезок [a;b] разобьем на n-равных частей точками xi.
Выделим произвольный элементарный учаcток [xi,xi+1] и все рассуждения проведем относительно этого участка.
Значение искомого решения
-средняя взвешенная сумма поправочных коэффициентов
, где
На всем отрезке [a;b] погрешность составляет величину O(h4), поэтому можно сделать вывод, что метод Рунге – Кутта дает практически точное решение задачи Коши (диф. ур-я). Метод часто применяется для решения практических задач и реализован в виде программ на разных языках программирования.
33. Система оду I порядка. Метод Эйлера.
На практике в основном приходится решать системы из нескольких диф. ур-ий, поэтому рассмотрим случай n=2
Обозначим y1=y
Начальное условие
Метод Эйлера.
Отрезок [a;b] разобьем на n-равных частей точками xi и выделим произвольный участок [xi;xi+1]
34. Система оду I порядка. Метод Рунге-Кутта.
Отрезок разбивается на n – равных частей точек xi взвешенные суммы (19)
В этой серии формул
Замечание. Геометрический смысл коэффициента k2(k1,k2,k3,k4), если взять для одного диф. ур.
y’(x) – угловой коэффициент к кривой в точке с абсциссой xi.
Т .е. поправочные коэффициенты пропорциональны к угловым коэффициентам.
Если взять производную участка [xi;xi+1]
35. Конечно-разностный метод решения дифференциальных ур-ий I порядка. Построение конечно-разностной схемы.
1. Способы аппроксимации производных.
Опр. Сеткой называется множество угловых точек расположенных на некотором множестве определенным образом. В зависимости от геометрии задачи (от размерности) сетки могут быть одномерными, двухмерными или многомерными. Если в определенном направлении шаг постоянен, то в этом направлении сетка наз-ся равномерной. Пусть на отрезке [a;b] дана система равноудаленных точек.
Пусть значение функции в этих точках известны
-
xi
x0
x1
…
xn
yi
y0
y1
…
yn
Для аппроксимации производной первого порядка на практике часто используются следующие формулы
Эти формулы легко выводятся с использованием разложения функции в ряды Тейлора.
- разложение функции в окрестности точки x.
Выведем (1), для этого используем (4), в нем отбросим все слагаемые, содержащие h2,h3 и в более высоких степенях.
Говорят что , если существует константа C, такая .
Полученное уравнение решим относительно y’(x)
Перейдем к индексному обозначению,
сравним с (1)
Сравнивая формулы (1) и (9) заключаем, что формула (1) имеет погрешность O(h). Для вывода формулы (2) используем разложение (5). В этом разложение выбросим все слагаемые, содержащие h2,h3 и т.д.
Переходя к индексному обозначению поучим
Сравнивая (2) и (12) погрешность замены производной пропорциональна………?
Для вывода формулы (3) одновременно используем разложения (4), (5).
В правой части (13) отбросим все слагаемые, содержащие h3 и в более высоких степенях.
Переходя к индексному обозначению получим
Сравнивая формулы (3) и (16) заключаем, что погрешность формулы (3) O(h2). Из этих 3х формул, формула (3) явл-ся более точной однако только на основе этого нельзя делать вывод о том, что получаемое решение будет более точным. В ряде случаев это более точная формула приводит к расходящемуся решению. В тоже время формула (2) дает сходящиеся решение при численном решение ряда ур-ий. С помощью разложения (4), (5) можно выводить также формулы для аппроксимации производных второго и более порядка. Выведем одну формул для аппроксимации производной второго порядка.
(4)+(5)
В этом разложении отбросим все слагаемые, содержащие h4 и в более высоких степенях, отбрасывая получим.
Переходя к индексному обозначению получим
На основе этого можно записать формулу (21) погрешность которой составляет O(h2)
Формулы для аппроксимации производной можно также выводить, используя методы численного дифференцирования.