- •20. Метод наименьших квадратов(мнк)
- •25. Численное дифференцирование. Метод неопределенных коэффициентов.
- •26. Формула численного дифференцирования, основанные на применении интерполяционных формула Лагранжа.
- •27. Численное интегрирование. Метод прямоугольников.
- •28. Численное интегрирование. Метод трапеций.
- •29. Численное интегрирование. Метод парабол.
- •30. Квадратурные формулы Ньютона-Котеса.
- •31. Задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения (оду) 1 порядка. Метод Эйлера.
- •32. Численное решение задачи Коши для оду 1 порядка методом Рунге-Кутта.
- •33. Система оду I порядка. Метод Эйлера.
- •34. Система оду I порядка. Метод Рунге-Кутта.
- •35. Конечно-разностный метод решения дифференциальных ур-ий I порядка. Построение конечно-разностной схемы.
- •36. Краевая задача для линейного обыкновенного дифференциального ур-я II порядка. Построение конечно- разностной схемы.
- •37. Первая краевая задача для уравнения теплопроводности. Явная конечно – разностная схема.
- •38. Первая краевая задача для уравнения теплопроводности. Неявная конечно-разностная схема.
- •41. Краевая задача для диф. Ур-ий частных производных
28. Численное интегрирование. Метод трапеций.
Ставится задача вычисления определения, интегралов:
Определение интеграла можно вычислить, по формуле Ньютона-Лейбница,
,
Однако на практике часто возникают следующие трудности:
1) F(x) первообразная не существует в классе элементарных фун-ий, интеграл не берется.
2) F(x) существует и яв-ся слишком сложной фун-ией и вычисление ее значений вызывает большие трудности.
3) Подынтегральная ф-ия задана лишь таблично, в этом случае теряет смысл вообще само понятие первообразной.
В таких случаях для вычисления определенных интегралов используют методы приближенного вычисления или методы численного интегрирования.
Вычисления однократного интеграла наз-ся механической квадратурой, а соответствующие формулы наз-ют квадратурами. Рассмотрим простейшие квадратурные ф-лы и их обобщения для вычисления.
Метод трапеций.
В ычислим определенный интеграл
Пусть положительна и непрерывна
Отрезок [a;b] разобьем на n-равных частей точками xi.
, проведем прямые x=xi. Тем самым мы интеграл разбили на сумму интегралов ,
Площадь заштрихованной полоски заменяется приближенно площадью трапеции.
Заменяя каждое слагаемое в формуле (12) правой частью формулы (13)
, распишем полученную сумму
в полученной сумме f(x0) и f(xn) встречается только один раз.
. Таким образом интеграл на всем отрезке приближенно равен - большая формула трапеций.
Введем в рассмотрение погрешность квадратичной формулы трапеции (15) разность между точками значений интеграла и приближенное значение интеграла и приближенное значение между трапециями.
Теорема 2.
Если существует и непрерывна на [a;b], то
Док-во: почти аналогично предыдущему
Вывод:
Сравнение методов прямоугольников, трапеций и парабол на основе теоремы 1,2,3 можно сделать следующий простой вывод. Самым грубым яв-ся метод прямоугольников, а самый точный среди рассмотренных – метод парабол.
Квадратурная формула называется точной, если ее R(f)=0.
29. Численное интегрирование. Метод парабол.
Ставится задача вычисления определения, интегралов:
Определение интеграла можно вычислить, по формуле Ньютона-Лейбница,
,
Однако на практике часто возникают следующие трудности:
1) F(x) первообразная не существует в классе элементарных фун-ий, интеграл не берется.
2) F(x) существует и яв-ся слишком сложной фун-ией и вычисление ее значений вызывает большие трудности.
3) Подынтегральная ф-ия задана лишь таблично, в этом случае теряет смысл вообще само понятие первообразной.
В таких случаях для вычисления определенных интегралов используют методы приближенного вычисления или методы численного интегрирования.
Вычисления однократного интеграла наз-ся механической квадратурой, а соответствующие формулы наз-ют квадратурами. Рассмотрим простейшие квадратурные ф-лы и их обобщения для вычисления.
Метод парабол.
Отрезок [a;b] разобьем на четное число n=2k.
, в качестве элементарного отрезка . Покажем крупным планом элементарный участок. Площадь под кривой заменяется приближенно площадью под параболой проведенной через точки A,B,C.
. Параболу можно определить разными способами. В качестве параболы, проходящей через три точки используем первый интерполяционный полином Ньютона. Для удобств преобразования рассмотрим первый элемент участок [x0,x2], тогда точки
A (x0,f(x0))=(x0,y0)
B (x1,y1)
C (x2,y2)
, для удобства перейдем к переменной q , ,
Обобщение этой формулы на произвольные случаи
-малая формула парабол (малая формула Симпсона)
Интеграл на всем участке
h=const
Т.о. -большая ф-а парабол (Симпсона)
Введем в рассмотрение величину
Теорема 3.
класс k-раз непрерывно дифференцируемых функций на отрезке [a;b]
Если 4 раза дифференцируема, то
Вывод:
Сравнение методов прямоугольников, трапеций и парабол на основе теоремы 1,2,3 можно сделать следующий простой вывод. Самым грубым яв-ся метод прямоугольников, а самый точный среди рассмотренных – метод парабол.
Квадратурная формула называется точной, если ее R(f)=0.