- •1. Общие сведения.
- •1.1. Основные понятия и определения.
- •1.2. Переменные в управлениях осу
- •1.3. Управление объектом
- •1.4. Классификация оптимальных систем управления.
- •2. Математическое описание
- •2.1. Уравнения в переменных состояния.
- •2.2. Представление нормальной системы уравнений в матричной форме.
- •2.3. Характеристическое уравнение в матричной форме.
- •2.4. Матричная передаточная функция.
- •2.5. Решение неоднородного матричного уравнения.
- •2.6. Метод фазовой плоскости
- •2.6.1. Особенности нелинейных систем
- •2.6.2. Изображение процессов на фазовой плоскости.
- •2.7. Фазовые портреты линейной системы
- •2.8. Фазовые портреты нелинейной системы.
- •2.9. Пример определения особых точек фазового портрета нелинейной системы.
- •2.10. Управление в фазовом пространстве.
- •Свободное движение.
- •Состояние равновесия.
- •Фазовый портрет при положительном управлении.
- •Фазовый портрет при отрицательном управлении.
- •Изменение движения изображающей точки.
- •3. Оптимальные системы.
- •3.1. Статическая оптимизация
- •Безусловная оптимизация
- •Условная оптимизация.
- •3.2. Динамическая оптимизация.
- •3.3. Функционал и его вариация.
- •3.4. Уравнение Эйлера.
- •3.5. Задачи вариационного исчисления
- •3.6. Принцип максимума.
- •3.7. Оптимальное по быстродействию управление на принципе максимума.
- •4. Адаптивные системы
- •4.1. Основные принципы
- •4.2. Постановка задачи.
- •3.2. Способы поиска экстремума.
- •4.3. Способы поиска экстремума.
Свободное движение.
Свободное движение означает отсутствие управления (u(t) = 0) и ненулевые начальные условия x1(0) = , x2(0) = .
Из dx2/dt = 0 заключаем: . Поскольку , . Со временем x1 увеличивается, если и уменьшается, если . Величина x2 остается постоянной; либо , либо . При разных величинах получается семейство прямых.
Фазовый портрет показан на рис. 2.26
При β > 0 изображающая точка движется вправо, при β <0 – влево.
Состояние равновесия.
Состояние равновесия означает, что производные равны нулю:
,
.
x2 = 0 есть уравнение оси абсцисс. dx1 = 0, x1 = α – точка на оси абсцисс. Для всех возможных α ось абсцисс является множеством точек состояния равновесия.
Далее поставим задачу: придавая управляющей величине фиксированные значения и , найти соответствующие фазовые портреты.
Фазовый портрет при положительном управлении.
Пусть и заданы начальные условия , . Составим уравнение фазовых траекторий из системы (2.25):
. (2.26)
После интегрирования получаем:
Уравнение (2.27) даёт фазовый портрет для разных значений С1, рис (2.27).
Для заданных начальных условий
Начальные условия выделяют только одну траекторию, начало которой есть изображающая точка М(α, β).
Траектории являются параболами с вершинами, обращенными влево. Их положение зависит от постоянной интегрирования C1, т.е. от начальных условий , и от величины управляющего воздействия .
При положительных x2>0 изображающая точка М(x1 x2) движется слева – направо. При отрицательных x2<0 изображающая точка движется справа – налево. Постоянная интегрирования C1 равна отрезку, отсекаемому параболой на оси абсцисс.
Через начало координат проходит только одна парабола, для неё C1 = 0.
В системе нет положения равновесия. В положении равновесия , , но (заданной величине). Поэтому, если изображающая точка оказалась на нижней полуветви параболы с С1 = 0, то с помощью управления её можно привести в начало координат (состояние равновесия системы), где управление надо снять. Иначе изображающая точка начнёт уходить в бесконечность, (система удаляется от равновесия).
Фазовый портрет при отрицательном управлении.
Пусть u = -λ . Выполняя те же вычисления, будем иметь:
, . (2.29)
Траектории показаны на рис. 2.28.
Изображающая точка будет двигаться по параболе, по часовой стрелке. Положения равновесия нет.
Через начало координат проходит только одна парабола при С2 = 0. Если начальная точка оказалась на верхней полуветви этой параболы, то уравнением её можно перевести в начало координат. В начале координат управление надо снять.
Изменение движения изображающей точки.
Обратим внимание на то, что в начало координат можно попасть только по траектории
, , (2.30)
или по траектории
, , (2.31)
Если изображающая точка в начальный момент оказалась вне этих траекторий, её надо сначала перевести на одну из этих траекторий, после чего довести до начала координат. Пусть, например, в начальный момент времени на фазовом портрете имеется изображающая точка М с координатами , , рис. 2.29.
Применяя управляющее воздействие , надо перевести изображающую точку на траекторию (2.20). В точке А сменить управление на и привести изображающую точку в начало координат. Аналогично, если начальные условия , (точка в четвёртом квадранте), то управлением надо перевести изображающую точку на траекторию (2.31) и, переключив управление на , доставить её в начало координат. В момент достижения начала координат управление снимается.
Переводить изображающую точку в начало координат управлением по траектории (2.31) можно только при условии x2<0. По полупараболе в четвёртом квадранте, рис. 2.29. Выделить эту полупараболу можно с помощью символа sgn:
Обозначение говорит о том, что учитывается только знак x2, но не величина. Если x2 < 0, то sgn x2 это минус, если x2 < 0, то -sgn x2 – это плюс. Отличие уравнения (2.32) от уравнения (2.31) в том, что последнее описывает всю параболу, тогда как первое выделяет её часть в четвертом квадранте.
При управлении в начало координат изображающую точку М приводит часть траектории, расположенная во втором квадранте, для которой x2 > 0. Эта часть траектории описывается уравнением:
Траектория (2.33) составляет половину параболы с уравнением (2.30).
Таким образом, движение изображающей точки М в начало координат можно описать одним уравнением:
. (2.34)
На рис. 2.30 выделена линия, соответствующая этому уравнению.
х2
С
х1
В
А
Рис. 2.30. Линия переключения
При попадании изображающей точки на линию ВС, управление переключается на противоположное по знаку. По этой причине линию ВС называют линией переключения.
Литература
1. Ким Д.П. Теория автоматического управления. Т.2. Многомерные, оптимальные и адаптивные системы. – М.: Физматлит, 2004. – 464 с.