2.7. Фазовые портреты линейной системы

Для каждого решения дифференциального уравнения можно построить фазовый портрет, который будет выражать графически движение системы. Решение линейного диффе­ренциального уравнения - это сумма экспонент, степени ко­торых – корни характеристического уравнения. Получается, что вид фазового портрета определятся тем, какие корни бу­дет иметь характеристическое уравнение.

Запишем систему (2.18.) как систему линейных уравне­ний:

,

,

где - коэффициенты.

Составим характеристическую матрицу pE-A :

.

Определитель этой матрицы, приравненный нулю, даёт характеристическое уравнение:

,

Корни этого уравнения определяют вид особой точки и, следовательно, вид фазовой траектории.

Решение может быть устойчивым и неустойчивым.

Устойчивые решения дают те корни, у которых действитель­ная часть отрицательная:

и .

Переходной процесс и фазовый портрет для корней показаны на рис 2.8. и рис 2.9.

Переходной процесс – затухающие колебания. Фазовый портрет – скручивающие спирали.

Начало координат на рис. 2.9 называется особой точкой типа “устойчивый фокус”.

На рис. 2.10 и рис. 2.11 показан переходной процесс для корней:

Начало координат на рис. 2.11 называют особой точкой типа “устойчивый узел”.

Если действительные части комплексных корней поло­жительные, , система неустойчивая.

Переходной процесс – нарастающие колебания, изображен на рис 2.12. Фазовый портрет – раскручивающиеся спирали, изображен на рис 2.13.

Начало координат на рис 2.13 – особая точка типа “неус­тойчивый фокус”.

Неустойчивой система может быть по причине положи­тельных действительных корней, . Пояснение на рис 2.14 и рис 2.15.

Начало координат на рис 2.15 – особая точка типа “неус­тойчивый узел”.

Если один из действительных корней отрицательный, а другой – положительный, то система так же будет неустойчи­вой. На рис 2.16 показан переходной процесс, на рис 2.17 фазовый портрет.

Начало координат на рис 2.17 – особая точка типа “седло”.

Мнимые корни обеспечивают системе незату­хающие колебания с постоянной амплитудой – гармониче­ские. Им соответствует фазовый портрет в виде вложенных друг в друга эллипсов, рис 2.18.

Начало координат носит название особой точки типа “центр”.

Анализ фазовых портретов и особых точек линейной системы, описываемый дифференциальным уравнением второго порядка, показывает следующее:

1. Фазовое пространство линейного дифференциального уравнения содержит только одну точку – начало координат;

2. Фазовые траектории нигде не пересекаются, кроме как в особой точке;

3. Область притяжения особой точки (если система устойчивая) или область отталкивания (если система неустойчивая) охватывает все фазовое пространство;

4. За исключением гармонического движения, фазовое пространство не содержит замкнутых фазовых траекторий.