- •Билет №1
- •Билет №2
- •Билет №3
- •Билет №4
- •Билет №5
- •Билет №6
- •Билет №7
- •Билет №8
- •Билет №9
- •Билет №10
- •Билет №11
- •Билет №12
- •Билет №13
- •Билет №14
- •Билет №15
- •Билет №16
- •Билет №17 Число опорных решений канонической задачи линейного программирования
- •Билет №18
- •Билет №19
- •Билет №20
- •Билет №21
- •Билет №22
- •Билет №23
- •Билет №24
- •Билет №25
- •Билет №26
- •Билет №27
- •Билет №28
- •Билет №29
- •Билет №30
- •Билет №31
- •Билет №32
Билет №1
Правило умножения матриц
Пусть даны 2 матрицы A(m×n) и B(n×l), причем число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B. Тогда матрица C(m×l) с элементами , (т.е. i-тая строка матрицы A, умноженная скалярно на j-й столбец матрицы B, дает cij-й элемент матрицы C, стоящий в i-й строке и j-м столбце).
, .
Билет №2
Свойство системы линейных уравнений, содержащей тривиальное уравнение.
Тривиальное уравнение – уравнение, в котором коэффициенты при всех неизвестных и свободных членах равны нулю.
Теорема: Система линейных уравнений, содержащая тривиальное уравнение, равносильна той же системе без тривиального уравнения.
Доказательство: Рассмотрим СЛУ (1) и ту же СЛУ (2), но без тривиального уравнения.
(1) ……………………………………………………………… (2)
Пусть вектор является решением системы (1), тогда этот вектор является и решением системы (2).
Обратно, пусть вектор является решением системы (2). Т.к. n-мерный вектор L является и решением тривиального уравнения, то он является решением системы (1).
Таким образом, система линейных уравнений, содержащая тривиальное уравнение, равносильна этой же системе без тривиального уравнения.
Билет №3
Свойство свободных неизвестных в разрешенной СЛУ
СЛУ называется разрешенной, если каждое уравнение системы содержит хотя бы одно разрешенное неизвестное.
Теорема: Если в разрешенной СЛУ (4) придать свободным неизвестным произвольные значения , т. е. , то найдется единственное решение этой системы в виде n-мерного вектора К, у которого значения координат, соответствующих свободным неизвестным, равны соответственно .
Доказательство:
(4)
Подставим в систему (4). Тогда разрешенные неизвестные примут значения такие, что:
(5)
Т. к. вектор обращает каждое уравнение системы (4) в точное числовое равенство, то он является решением этой системы. Таким образом, доказано существование решения системы (4).
Докажем единственность такого решения. Пусть вектор с теми же значениями свободных неизвестных является также решением системы (4). Тогда подставим его в систему (4), получим:
(6)
Сопоставляя (5) и (6), видим, что . Таким образом, доказано, что существует единственное решение системы (4) с заданными значениями свободных неизвестных.
Замечания:
Т. к. значения свободных неизвестных можно задать бесконечно большим числом способов, то система (4) является неопределенной.
Разрешенная СЛУ всегда совместна. При этом она определена, если m=n, т. е. число уравнений равно числу неизвестных, и не определена, если число уравнений меньше числа неизвестных, т. е. m<n
Билет №4
Элементарные преобразования СЛУ
-умножение обеих частей любого ур. исх.сис на число, не равное 0
-замена i-го уравнения в сис (1) АiX+АjX=bi+bj позволяет переходить от исодной СЛУ к равносильной
-Жорданово преобразование