- •Билет №1
- •Билет №2
- •Билет №3
- •Билет №4
- •Билет №5
- •Билет №6
- •Билет №7
- •Билет №8
- •Билет №9
- •Билет №10
- •Билет №11
- •Билет №12
- •Билет №13
- •Билет №14
- •Билет №15
- •Билет №16
- •Билет №17 Число опорных решений канонической задачи линейного программирования
- •Билет №18
- •Билет №19
- •Билет №20
- •Билет №21
- •Билет №22
- •Билет №23
- •Билет №24
- •Билет №25
- •Билет №26
- •Билет №27
- •Билет №28
- •Билет №29
- •Билет №30
- •Билет №31
- •Билет №32
Билет №5
Решение системы однородных уравнений
Линейное уравнение называется однородным, если его свободный член равен нулю, и неоднородным в противном случае. Система, состоящая из однородных уравнений, называется однородной и имеет общий вид:
Теорема. Однородная система линейных уравнений имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ее ранг меньше числа неизвестных.
Доказательство: Допустим, система, ранг которой равен , имеет ненулевое решение. Очевидно, что не превосходит . В случае система имеет единственное решение. Поскольку система однородных линейных уравнений всегда имеет нулевое решение, то именно нулевое решение и будет этим единственным решением. Таким образом, ненулевые решения возможны только при .
Следствие 1: Однородная система уравнений, в которой число уравнений меньше числа неизвестных, всегда имеет ненулевое решение.
Доказательство: Если у системы уравнений , то ранг системы не превышает числа уравнений , т.е. . Таким образом, выполняется условие и, значит, система имеет ненулевое решение.
Следствие 2: Однородная система уравнений с неизвестными имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю.
Доказательство: Допустим, система линейных однородных уравнений, матрица которой с определителем , имеет ненулевое решение. Тогда по доказанной теореме , а это значит, что матрица вырожденная, т.е. .
Билет №6
Примеры линейно зависимых и линейно независимых систем векторов
Система m-мерных векторов называется линейно зависимой, если система линейных уравнений (1) имеет ненулевые решения. Если же система (1) не имеет ненулевых решений, то данная система векторов является линейно независимой.
Система m-мерных векторов называется линейно зависимой, если существует такой ненулевой вектор , что выполняется линейное соотношение (2) . Если же из всякого соотношения вида (2) следует, что , то система векторов называется линейно независимой.
Пример:
Билет №7
Свойства системы векторов и части этой системы
Из определения линейной зависимости векторов следует, что любая система векторов либо линейно зависима, либо линейно независима.
Если часть данной системы векторов линейно зависима, то и вся данная система линейно зависима.
∆ Пусть A1, …, Al линейно зависимая часть системы векторов A1, …, An , где l<n. По определению найдется такой вектор К=(k1, …, kl) ≠ Ɵ, что будет выполняться соотношение A1k1 + … + Alkl = Ɵ. Тогда соотношение вида A1k1 + … + Alkl + … + + Ankn = Ɵ будет выполняться при
К=(k1, …, kl, 0, …, 0) ≠ Ɵ. Следовательно, по определению вся система векторов A1, …, An является линейно зависимой. ∎
Если данная система векторов линейно независима, то и любая ее часть линейно независима.
∆ От противного. Пусть часть A1, …, Ak данной системы векторов A1, …, An является линейно зависимой. Тогда из 2 свойства следует, что вся данная система векторов линейно зависимая. Это противоречит условию, следовательно, предположение неверно, а верно то, что любая часть линейно независимой системы является тоже линейно независимой. ∎
Если система векторов A1, …, An, B является линейно зависимой, а ее часть A1, …, An – линейно независима, то вектор линейно выражается через векторы A1, …, An.
∆ Система векторов A1, …, An, B является линейно зависимой. Тогда по определению найдется такой вектор К=(k1, …, kn, kn+1) ≠ Ɵ , что выполняется соотношение A1k1 + … + Ankn + Bkn+1 = Ɵ. Покажем, что kn+1 ≠ 0. Если бы kn+1 = 0, то Bkn+1 = Ɵ. Тогда A1k1 + … + Ankn = Ɵ, а т. к. система векторов A1, …, An по условию линейно независима, то k1 = … = kn = 0, а следовательно, вектор , что противоречит тому, что К=(k1, …, kn, kn+1) ≠ Ɵ. Т. о. kn+1 ≠ Ɵ. Тогда можно записать B =A1 (-k1/kn+1) + … + An (-kn/kn+1) ∎