Билет 25

1. Метод наименьших квадратов (МНК) применяется для представления опытных данных в аналитическом виде. Требуется найти аналитическую функциональную зависимость .Найдем с помощью интерполяционного многочлена Лагранжа

Он позволяет записать уравнение кривой, проходящей через любое число заданных точек. Для большого количества точек используется Аппроксимация - нахождение функции заданного вида, обеспечивающей наилучшее приближение к опытным данным.В МНК качество приближения оценивается по сумме квадратов отклонений значений аппроксимирующей функции y=f(x) от опытных данных i = 1, 2.Функция, по которой оценивается качество аппроксимации, называется критерием качества, имеющий вид:

2. Вычисление длины дуги

Т ребуется найти длину отрезка кривой при . .

На каждом элементарном отрезке заменим дугу кривой отрезком прямой (рис. 70), длина которого равна , . Используем теорему Лагранжа о конечном приращении функции на каждом элементарном отрезке. Найдем , .

Составим интегральную сумму для нахождения приближенного значения длины дуги отрезка кривой

3.Признак Даламбера сходимости знакоположительных рядов.Если для знакоположительного ряда сумма Un существует предел отношения последующего члена ряда к предыдущему при неограниченном возрастании их номеров, т. е. существует предел , то: 1. если  < 1, то ряд сходится; 2) если  > 1, то ряд расходится; 3) если  = 1, то данный признак не позволяет решить вопрос о сходимости ряда Д о к а з а т е л ь с т в о.1. Пусть , то всегда найдется число q, удовлетворяющее неравенству  < q < 1. В этом случае по существует такое число N, что если номер члена ряда n > N, то отношение меньше этого числа q. . Отношение является отношением последующего члена ряда к предыдущему для бесконечной убывающей геометрической прогрессии , которая сходится, так как знаменатель прогрессии меньше единицы (q < 1). В соответствии с теоремой 8.4 (третий признак сравнения рядов) ряд сумма Un сходится.

2. Пусть . Тогда существует такое число q, которое больше единицы, но меньше , . существует такое число N, что если n > N, то отношение больше q, т. е. ряд расходится

Билет 26. 1. Достаточный признак условного экстремума функции двух переменных.Пусть решается задача на условный экстремум Запишем функцию Лагранжа .Составим систему для нахождения критических точек

Пусть в результате решения этой системы найдена критическая точка . Тогда в этой точке равны нулю частные производные

,следовательно, и дифференциал первого порядка .Наличие экстремума функции в точке определяется по тому, что является или нет знакоопределенной функцией приращение функции в окрестности этой точки. Ввиду того, что дифференциал первого порядка в этой точке равен нулю, в первом приближении . Если в критической точке , то и точка является точкой минимума. Если же , и точка является точкой максимума.Дифференциал второго порядка функции трех переменных является квадратичной формой относительно .

.В матричной записи этот дифференциал имеет вид .Данную квадратичную форму можно исследовать на знакоопределееность с помощью критерия Сильвестра.Согласно данному критерию, для того чтобы квадратичная форма была знакоположительной в некоторой -окрестности точки , т.е. , должны быть положительными все три главных минора матрицы этой формы. , , .В этом случае функция будет иметь минимум в точке .

Для того чтобы квадратичная форма была знакоотрицательной в некоторой -окрестности точки , т.е. , должны быть отрицательными первый и третий главные минора матрицы, а второй минор  положительный. . , .В этом случае функция будет иметь максимум в точке .В более удобном виде достаточный признак на условный экстремум функции двух переменных в критической точке записывают в виде одного определителя .