2. Вычисление объемов тел вращения
|
Пусть
требуется вычислить объем тела,
образованного вращением вокруг оси
Ох
фигуры,
ограниченной линиями:
Составим интегральную сумму и перейдем к пределу. |
)
С
помощью произвольно выбранных точек
разобьем отрезок
на n
элементарных отрезков длиной
i
= 1, 2, …, n.
Через точки деления проведем плоскости
перпендикулярно оси Ох.
Получим n
элементарных объемов тел вращения. На
каждом элементарном отрезке выберем
произвольно точку
и вычислим значение функции
.
Каждое элементарное тело вращения
заменим цилиндром с радиусом основания
и высотой
,
объем которого равен
.
Объем всего тела вращения приближенно
равен
.Данная
сумма является интегральной. Перейдем
к пределу при
,
и получим точное значение объема
или
.Если
тело образуется вращением вокруг оси
Оy
фигуры, ограниченной линиями:
,
,
то его объем находится по формуле
.
3.
Интегральный признак Коши. Если члены
знакоположительного ряда сумма
Un,
являющиеся значениями функции
целочисленного аргумента
,
монотонно убывают и стремятся к нулю
,
то: 1) если
сходится, то и ряд сумма
Un
сходится; 2) если
расходится, то и ряд сумма
Un
расходится.
Д
о к о з а т е л ь с т в о.
,
криволинейная трапеция ABCD,
,
,
Û
.Левая
часть:
.При
возрастании n
частичные суммы ряда монотонно возрастают.
также возрастает и ограничен величиной
интеграла
.Поэтому
.
По теореме Вейерштрасса существует
предел
.
Следовательно, ряд сходится. Правая
часть:
Û
.По
условию теоремы
.
Если
неограниченно возрастает, то и предел
частичных сумм
неограниченно возрастает и, следовательно,
ряд расходится.