- •1. Дифференциальное исчисление
- •1.1. Пределы последовательности и функции
- •1.2. Производные
- •1.3. Исследование функций
- •1.4. Функция двух переменных
- •2. Интегральное исчисление
- •2.1. Неопределенный интеграл
- •2.2. Определенный интеграл
- •2.3. Несобственный интеграл
- •3. Элементы теории множеств и математической логики
- •3.1. Теория множеств
- •3.2. Булева алгебра. Алгебра высказываний
2.3. Несобственный интеграл
Основные определения, теоремы и формулы:
Определение: Интеграл от неограниченной функции.
Пусть функция задана на и в точке неограничена. Тогда, несобственным интегралом от неограниченной функции называется предел
.
Определение: Интеграл на бесконечном интервале.
Пусть функция задана на . Тогда несобственным интегралом на бесконечном интервале называется предел
Условие сходимости интеграла от неограниченной функции
Теорема: Пусть функция в окрестности точки эквивалентна . Тогда, интеграл
при расходится;
при сходится.
Условие сходимости интеграла на бесконечном интервале
Теорема: Пусть функция на бесконечности эквивалентна . Тогда, интеграл
при сходится;
при расходится.
Примеры решения задач:
Пример 1: Вычислить несобственный интеграл
Решение: Подынтегральная функция обращается в бесконечность в точках 0 и 1. В точке 0 функция эквивалентна , а в точке 1 она эквивалентна . Следовательно, в обоих случаях и интеграл сходится.
Вычислим его
.
Пример 2: Вычислить несобственный интеграл
Решение: Подынтегральная функция при эквивалентна . Следовательно, интеграл - расходится.
3. Элементы теории множеств и математической логики
3.1. Теория множеств
Основные определения, теоремы и формулы:
Элементы теории множеств
Множество самое абстрактное понятие математики.
Это понятие настолько общее, что трудно дать ему какое-либо определение, которое не сводилось бы к замене слова «множество» равнозначными выражениями «совокупность», «собрание элементов» и т.д.
Все же дадим определение.
Определение. Множество это совокупность элементов.
Множества будем обозначать прописными буквами А, В, С , а их элементы малыми a, b, c
Утверждение «элемент а принадлежит множеству А» символически записывается означает «элемент а не принадлежит множеству А».
Определение. А является подмножеством В, если из вытекает, что . Обозначается .
Операции над множествами
Определение. Пусть А и В произвольные множества. Суммой или объединением двух множеств называется множество, состоящее из элементов множества А или В, или обоих множеств одновременно.
Определение. Произведением или пересечением множеств называется множество, принадлежащих множеству А и В одновременно.
Свойства объединения и пересечения множеств
1. , коммутативность .
2. .
1. , ассоциативность.
2. .
, дистрибутивность
.
Определение. Дополнение к множеству А.
Пусть некоторое множество и пусть А является подмножеством . Тогда дополнением к А называется множество , состоящее из элементов, не принадлежащих к А, но принадлежащих .
Свойство. .
Теорема двойственности.
Примеры решения задач:
Пример1. Для заданных множеств на плоскости А и В убедится в справедливости теоремы двойственности (теоремы о дополнении к объединению множеств) .
Пусть . Нарисуем множества А и .
Затем построим множества и множества .
Таким образом, будет построена левая часть теоремы двойственности.
П остроим теперь правую часть .
Из рисунков видно, что множества и совпадают, то есть = .
Задача 1: Для заданных на плоскости (x, y) множеств А и В найти А В, На данном примере убедится в справедливости теорем о дополнении к объединению или пересечению множеств то есть в справедливости тождеств .
A = x 2 + y 2 1, B = (x - 1) 2 + y 2 1
A = x 2 + y 2 1, B = (x - 1) 2 + (y - 1) 2 1
A = x 2 + y 2 1, B = x 2 + (y - 1)2 1
A = x 2 + y 2 1, B = 0 x 1; 0 y 1
A = x 2 + y 2 1, B = (x - 1) 2 + y 2 2
A = 0 x 2; 0 y 2 , B = -1 x 1; -1 y 1
A = 0 x 1; 0 y 1 , B = (x - 1) 2 + (y - 1) 2 1
A = x 2 + y 2 1, B = 0 x 3; 0 y 1
A = -3 x 3; -1 y 1 , B = -1 x 1; -3 y 3
A = -4 x 4; 0 y 2 , B = 0 x 2; -4 y 4