- •1. Дифференциальное исчисление
- •1.1. Пределы последовательности и функции
- •1.2. Производные
- •1.3. Исследование функций
- •1.4. Функция двух переменных
- •2. Интегральное исчисление
- •2.1. Неопределенный интеграл
- •2.2. Определенный интеграл
- •2.3. Несобственный интеграл
- •3. Элементы теории множеств и математической логики
- •3.1. Теория множеств
- •3.2. Булева алгебра. Алгебра высказываний
2. Интегральное исчисление
2.1. Неопределенный интеграл
Основные определения, теоремы и формулы:
Определение: Неопределенным интегралом (первообразной) для функции называется функция , производная от которой равна для любых из области определения, т.е.
или .
Неопределенный интеграл для функции вычисляется с точностью до постоянной.
Интегралы от основных элементарных функций
Теорема 1:
Пусть ,тогда
Теорема 2: Интегрирование заменой переменной
Теорема 3: Интегрирование по частям
Примеры решения задач:
Пример 1: Вычислить неопределенный интеграл
Решение: Используя теорему 1 получим из табличных интегралов
Пример 2: Вычислить неопределенный интеграл
Решение: Воспользовавшись подстановкой и табличным интегралом, имеем
Пример 3: Вычислить неопределенный интеграл
Решение: Воспользуемся интегрированием по частям
Пусть
тогда из теоремы 3 имеем
Пример 4: Вычислить неопределенный интеграл
Решение: Разложим подынтегральное выражение на элементарные дроби
Приводя к общему знаменателю, для числителя можно записать
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , получим систему линейных уравнений для определения коэффициентов
Таким образом, подынтегральное выражение имеет вид
Отсюда, окончательно интеграл будет равен
2.2. Определенный интеграл
Основные формулы:
Формула Ньютона - Лейбница
Если любая первообразная для , то
Разбиение интервала интегрирования
Изменение пределов интегрирования
В частности, .
Замена переменной в определенном интеграле
Интегрирование по частям определенного интеграла
Приложение интегрального исчисления
Площадь плоской фигуры
- элементарная площадка
- площадь фигуры
Длина кривой
Элементарная длина из теоремы Пифагора
отсюда
;
Объем тела вращения
- объем элементарного цилиндра
- объем тела вращения
Площадь поверхности вращения
- площадь поверхности элементарного усеченного конуса
- площадь поверхности вращения
Примеры решения задач:
Пример 1: С помощью определенного интеграла вычислить площадь фигуры, ограниченной условиями
,
Решение: Прямая и парабола ограничивают замкнутую конечную область. При этом изменяется в пределах от 0 до 1. Тогда для площади получаем
,
где - верхняя кривая ,
- нижняя кривая
отсюда
Пример 2: С помощью определенного интеграла вычислить объем фигуры вращения (вокруг оси ), ограниченной условиями
,
Решение: Прямая в результате вращения вокруг оси образует
конус с высотой 1. Парабола после вращения вокруг оси образует коническую фигуру, вложенную в конус. Искомый объем будет равен разности объемов этих двух фигур
Пример 3: Вычислить с помощью определенного интеграла капитал фирмы в момент , если ее доход (прибыль) описывается функцией , а в начальный момент капитал фирмы был равен
Решение: Производная от капитала является доходом фирмы. Тогда в силу формулы Ньютона-Лейбница имеем
Разбивая интервал интегрирования на части, получим