Билет – 5 «теорема о трех силах».

3)ТЕОРЕМА О ТРЕХ СИЛАХ – Если твердое тело находится в равновесии под действием трех непараллельных сил, лежащих в одной плоскости, то линии действия этих сил пересекаются в одной точке.

Для доказательства теоремы рассмотрим сначала какие-нибудь две из действующих на тело сил, например

Т.к. по условиям теоремы эти силы лежат в одной плоскости и не параллельны, то их линии действия пересекаются в некоторой точке А. (РИС. 22) Приложим силы в этой точке и заменим их равнодействующей . Тогда, на тело будут действовать две силы: сила и сила приложенная в какой-то точке В тела. Если тело при этом находиться в равновесии, то силы и должны быть направлены по одной прямой, т.е. вдоль АВ. Следовательно, линия действия силы тоже проходит через точку А, что и требовалось доказать.

Билет – 6 «момент силы относительно точки».

Точку, относительно которой берется момент, называют ЦЕНТРОМ МОМЕНТА, а момент силы относительно этой точки – МОМЕНТОМ ОТНОСИТЕЛЬНО ЦЕНТРА. МОМЕНТОМ СИЛЫ ОТНОСИТЕЛЬНО ЦЕНТРА О – называется приложенный в центре О вектор , модуль которого равен произведению модуля F силы на её плечо h и который направлен перпендикулярно плоскости, проходящей через центр О и силу, в ту сторону, откуда сила видна стремящейся повернуть тело вокруг центра О против хода часовой стрелки (рис. 31).

Билет-7 «Аналитические выражения момента силы относительно координатных осей»

Возьмем три взаимно перпендикулярные координаты оси x, y, z, которым соответствуют орты I, j, k.

Момент М₀ силы Р относительно начала координат, выражается формулой

М₀=r × P

Где r-радиус-вектор точки А приложения силы относительно начала координат.

Разложим вектор М₀ на составляющие по осям координат:

М₀₌i×M_x+j×M_y+k×M_z

Из векторной алгебры известно, что векторное произведение r×P можно представить определителем:

i j k

r×P= x y z

X Y Z

Приравнивая значения М₀ и определителя, разложенного по элементам первой строки, получаем

i×M_x+j×M_y+k×M_z=i×(y×Z-z×Y)+j×(z×X-x×Z)+k×(x×Y-y×X)

Сопоставляя левые и правые части этого равенства, находим проекции момента М₀ на оси координат, равные моментам силы Р относительно этих осей

M_x=y×Z-z×Y; M_y=z×X-x×Z; M_z=x×Y-y×X.

Билет-8 «Сложение параллельных сил. Пара сил. Момент пары.»

Сложение параллельных сил параллельные направленные в одну сторону силы приложенные в точках А и В.

Согласно 1-й и 2-й аксиомам статики перейдем от данной системы параллельных сил к эквивалентной системе сходящихся сил . Для этого приложим в точка А и В две уравновешивающие силы направленные вдоль прямой АВ и сложим их с силами по правилу параллелограмма. Полученные силы перенесем в точку О, где пересекаются их линии действия и разложим на первоначальные составляющие. Силы отбросим (по 2-й аксиоме статики) и останутся две направленные по одной прямой силы . Эти силы переносим в точку С и заменяем равнодействующей модуль которой равен:

Для определения положения точки С рассмотрим треугольники ОаК, ОАС, ОСВ, Оbm. Из подобия

т.к. . Далее учитывая свойства пропорций, уравнение (3.1.1) и то, что

BC+AC=AB

получаем

Рассмотрим случай сложения параллельных сдал направленных в разные стороны.

Пусть .

Выберем на продолжении прямой АВ точку С и приложим к ней уравновешенные силы которые параллельны . Положение точки С и модули сил выберем таким образом, чтобы удовлетворялись соотношения

Складываем силы и , согласно (3.1.1) и (3.1.4), получим их равнодействующую равную по модулю , то есть модулю и приложенную в точке А. То есть силы и оказались уравновешенными и их можно отбросить.

В итоге силы заменяются одной силой , которая и является их равнодействующей. Точка приложения С равнодействующей и ее модуль определяются формулами (3.1.5), (3.1.6).

С помощью формул (3.1.1.) - (3.1.6) можно решать задачу о разложении силы на две ей параллельные. Задача будет определенной при задании дополнительных условий.

Пара сил. Момент пары.Система двух равных по модулю, параллельных и противоположно направленных сил и называется парой сил. Система не находится в равновесии, но и не имеет равнодействующей.

Плоскость, проходящая через линии действия сил называют плоскостью действия пары. Расстояние d между линиями действия сил пары называют плечом пары.

Действие пары сил на твердое тело сводится к вращательному эффекту и зависит от:

1) модуля F и длины плеча d;2) положения плоскости пары;3) направления поворота в этой плоскости.Для характеристики этого вращательного эффекта вводится понятие момент пары.

Моментом пары называется величина, равная взятому с соответствующим знаком произведению модуля одной из сил пары на ее плечо.

Момент пары условимся считать положительным (+), если пара стремится повернуть тело против хода часовой стрелки, и отрицательным (-) - когда по ходу часовой стрелки.

Обозначение момента пары m или М без индекса имеет свой смысл, так как момент пары нельзя смешивать с моментом силы относительно центра и этот центр указывается в индексе (например: ). Момент же пары определяется только силами и плечом.

Действие пары сил, как уже указывалось выше, характеризуется тремя условиями. При характеристике пар необходимо задавать все три значения. Но мы знаем, что вектор-нормаль к плоскости задает значения второго и третьего условия. Если мы теперь пронормируем вектор-нормаль значением момента пары, то все три условия будут выполнены. Эти соображения и позволили рассматривать момент пары как вектор. Будем изображать момент пары вектором или , модуль которого равен модулю момента пары, и который направлен перпендикулярно плоскости действия пары, в ту сторону откуда поворот пары виден происходящим против хода часовой стрелки.

Если рассматривать только пары лежащие в одной плоскости, то вместо вектора момента пары, можно стрелкой указывать только направлением поворота.Вектор на рис. 25 условно изображен выходящим из точек В и D, однако он может изображаться выходящим из середины АВ или CD или из произвольной точки плоскости действия пары, так как

БИЛЕТ – 9

«ТЕОРЕМЫ ОБ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ ПАР».

ТЕОРЕМА ОБ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ ПАР: Две пары сил, имеющие одинаковые моменты, эквивалентны друг другу. Это следует из того, что указанными операциями, т.е. путем изменения плеча и перемещения пары в плоскости действия или переноса в параллельную плоскость, пары с одинаковыми моментами могут быть преобразованы одна в другую.

БИЛЕТ – 10

«СЛОЖЕНИЕ ПАР»

ТЕОРЕМА О СЛОЖЕНИИ ПАР: система пар, действующих на абсолютно твердое тело, эквивалентна одной паре с моментом, равным геометрической сумме моментов слагаемых пар

Рассмотрим сначала две пары с моментами и , лежащие в плоскостях I и II (рис.35). Возьмем на линии пересечения плоскостей отрезок АВ = d и изобразим пару с моментом силами и , а пару с моментом - силами и . Сложив силы, приложенные в точках А и В, убеждаемся, что пары и и действительно эквивалентны одной паре , . Найдем момент этой пары. Так как = + , то * = * + * или = +

БИЛЕТ-11

Для любой системы сил, приложенных к твёрдому телу, можно найти эквивалентную систему сил, состоящую из силы, приложенной в заданной точке (центре приведения), и пары сил. Эта сила называется главным вектором системы сил, а момент, создаваемый парой сил — главным моментом относительно выбранного центра приведения. Главный вектор равен векторной сумме всех сил системы и не зависит от выбранного центра приведения. Главный момент равен сумме моментов всех сил системы относительно центра приведения.

О сн теор статики (теорема Пуансо): Всякую пространственную систему сил в общем случае можно заменить эквивалентной системой, состоящей из одной силы, прило­женной в какой-либо точке тела (центре приведения) и равной глав­ному вектору данной системы сил, и одной пары сил, момент которой равен главному моменту всех сил относительно выбранного центра приведения.