Билет-21 «Центр параллельных сил»
Понятие о центре параллельных сил используется при решении некоторых задач механики, в частности при определении положений центров тяжести тел.
Рассмотрим сначала две параллельные силы Р1 и Р2у приложенные к телу в точках А1 и А2 (рис. 103).Очевидно, что эта плоская система сил имеет равнодействующую R=P1+P2, линия действия которой параллельна слагаемым силам и проходит через некоторую точку С, лежащую на прямой A1A2. Положение точки С найдем с
помощью теоремы Вариньона. Согласно этой теореме mc(R) =
=mc(P1)+mc(P2) или 0=P1h1—P2h2=P1*A1C*соs а—Р2*А2С *соs а, откуда
Р1*А1С=Р2-А2С. (54)
В равенство (54) входят модули Р1 и Р2 рассматриваемых сил.
Поэтому, если силы Р1 и Р2 повернуть около точек А1 и А 2 в одну и ту же сторону на один и тот же угол, то образуются две новые параллельные силы Р1 и Р2 имеющие те же модули Р1,Р2; следовательно, для сил Р1, Р2 равенство (54) сохранится и линия действия их равнодействующей R тоже пройдет через точку С. Такая точка называется центром параллельных сил Р1 и Р2.Теперь рассмотрим систему параллельных и одинаково направленных сил Р1, Р2, . . Рп; приложенных к твердому телу в точках -А1, А 2, . . Ап (рис. 104). Эта система сил имеет равнодействующую R=ΣPk
Если каждую из сил системы поворачивать около точки ее приложения в одну и ту же сторону на один и тот же угол, то будут получаться новые системы одинаково направленных параллельных сил с теми же модулями и точками
гое направление. Покажем, что при всех таких поворотах линия действия равнодействующей проходит через одну и ту же точку С.В самом деле, сложив сначала силы Р1 и Р2 найдем по формуле (54),что их равнодействующая (на рис. 104 не показана) будет всегда проходить через точку с1 положение которой определяется равенством Р1*А1с1=Р2-А2сг. Сложив затем силы R1 и Р3, найдем, что их равнодействующая, являющаяся одновременно равнодействующей сил Р1,Р2,P3 всегда проходит через аналогично определяемую точку с2, лежащую на прямой с1А3 и т. д. Доведя этот процесс последовательного сложения сил до конца, убедимся, что равнодействующая R всех сил действительно проходит всегда через одну и ту же точку С, положение которой по отношению к точкам А1 А 2, . .An т. е. к телу, будет неизменным.Точка С, через которую проходит линия действия равнодействующей системы параллельных сил при любых поворотах этих сил около их точек приложения в одну и ту же сторону и на один и тот же угол, называется центром параллельных сил.
Найдем координаты центра параллельных сил. Положение точки С по отношению к телу является неизменным и от выбора системы координат зависеть не будет. Возьмем поэтому произвольные координатные оси Охуz и обозначим в этих осях координаты точек: А1(х1 y1z1), А(х2, у2, z2), . . С(хс, yс, zс). Пользуясь тем, что от направления сил положение точки С не зависит, повернем сначала силы около их точек приложения так, чтобы они стали параллельны оси Оz, и применим к повернутым силам Р1 Р2 . . Рп теорему Варинъона. Так как R является равнодействующей этих сил, то по формуле (46), беря моменты относительно оси Оу, найдем, что my(R)=Σmy(Pk). (56)
Но из чертежа [или из равенств (47)] видно, что mу (R')=Rхс, так как R’=R аналогично mу(Р'1)=Р1х1 так как P’1=P1, и т.д.
Подставляя все эти величины в равенство (56), получим RxС = Р1x1+P2x2+Pnxn=ΣPkxk Отсюда определим хc. Для координаты ус аналогичную формулу найдем, беря моменты относительно оси Ох, Чтобы определить zс, повернем опять все силы, сделав их параллельными оси Оу, и применим к этим силам (изображенным пунктиром с точками) теорему Вариньона, беря моменты относительно оси Ох, Это даст:
-Rzc=-P1z1+(-P2z2)+…+(-Pnzn), откуда определим zс
Окончательно получим следующие формулы для координат центра параллельных сил:
xc=1/RΣPkxk, yc=1/RΣPkyk, zc=1/RΣPkzk, Ус = ^ Ц ркУк> 2с = ^ X.р&’ (57>
где R определяется равенством (55). Заметим, что формулы (55) и (57) будут справедливы и для параллельных сил, направленных в разные стороны, если считать Рк величинами алгебраическими (для одного направления со знаком плюс, а для другого — минус) и если при этом R не равно 0.