7 Формула полной вероятности.

Предположим, что событие А происходит одновременно с одним из событий H₁, H₂,…,H_n, попарно несовместных и образующих полную группу событий.Т.к. заранее неизвестно, с каким из событий H_i событие А произойдет, то H₁…H_n – гипотезы. Вероятность P(A)=P(H₁)P(A/H₁)+P(H₂)P(A/H₂)+…+P(H_n)P(A/H_n).Или P(A)=

Доказательство:А=AH₁+AH₂+…+AH_n. Т.к. события H_i попарны и несовместны, то будут попарными и несовместными и события AH_i. По теореме несовместных событий получаем P(A)=P(AH₁+AH₂+ …+AH_n)= P(H₁)+…+P(H_n). P(A)=P(H₁)P(A/H₁)+P(H₂)P(A/H₂)+…+P(H_n)P(A/H_n).

Замечание1: Т.к. H₁,…,H_n образуют полную вероятность, то сумма вероятностей равна 1: P(H₁)+ P(H₂)+…+ P(H_n)=1.

Замечание2: Вероятности гипотез определяются до опыта и называются априорными.

.Формула Байеса. Предположим, событие А произошло. Какизменятся при этом вероятности гипотез P(AB)=P(A)*P(B/A), P(AB)=P(B)P(A/B), P(AH_i)=P(A)P(H_i/A)=P(H_i)P(A/ H_i). Следовательно P(H_i/A)= , i = .Заменив по формуле P(A)=P(H₁)P(A/H₁)+P(H₂)P(A/H₂)+…+P(H_n)P(A/H_n) получим P(H_i/A)=. Эти формулы называют формулами Байеса. Они позволяют переоценить вероятности гипотез после того, как становится известным результат испытания, в итоге которого появилось событие А.

8 .Ф-я распр. вер.СВ. Определ. и св-ва. Ф-я F(х) наз. ф-я распр. СВ Х, если F(х)=р (Х<х) для всех хє(-∞;+∞)

Х<х означ. -∞<X<x, т.е. ф-я распр. поках. вер. попадания СВ Х на интервалм(-∞;х) левее точки х. Св-ва ф-ции распр:

1. 0≤ F(х)≤1. F(х)=Р(Х<х) ≥0

2. F(х)-неубывающая. х₁<x₂, F(х₁)≤ F(х₂)

A={x<x₁} B={x₁≤x<x₂} C={x<x₂} C=A+B AиB- несовм. По теор. слож. им.

Р(С)=P(A)+P(B)= P(X<x₁)+P(x₁≤x<x₂)

P(C)= P(X<x₂)=F(x₂)

P(X<x₁)=F(x₁)

P(x₁≤x<x₂)=F(x₂)- F(x₁)≥0

F(x₂)≥ F(x₁) x₂>x₁

3. Вер. попадания СВ на полуинтервал х=[x₁,x₂] P(x₁≤x<x₂)= F(x₂)-F(x₁)

4 F(-∞)=0 F(+∞)=1 F(-∞)=lim F(x) F(+∞)=lim F(x) Док-во F(x)=P(X<x), F(-∞)=P(x<-∞)=P()=0, F(+∞)=P(x<+∞)= P(-∞<x<+∞)=P(Ω)=1.

5. F(x)-непрерывна слева,

.Ф-ция распределения ДСВ Ф-ция р ДСВ =F(x)=P(X<X)= Σ_xi<x P(X=X_i), суммир. ведется по всем х _i< x

1)(-∞,х₁]эХ 0,x≤x₁

х х₁ х₂ … х_n

р р₁ р₂ … р_n

x₁ x₂ x_n

2)х₁< x ≤ x₂ F(x)= p₁,x₁<x≤x₂

p₁+p₂, x₂<x≤x₃

1,x>x_n

9 Непрерывные случайные величины

Определение 2: Распределение случайной величины называется непрерывным, а сама случайная величина - непрерывной случайной величиной, если для любого

где интегрируемая по Лебегу функция. Функция называется плотностью распределения случайной величины

Теорема 1: Для того чтобы случайная величина была непрерывной случайной величиной, необходимо и достаточно, чтобы для любого , (1) Замечание 1: Из представления (1) видно, что функция распределения непрерывной случайной величины является непрерывной функцией.. Свойства плотности распределения:1) , 2) почти всюду,3) для любых х, являющихся точками непрерывности плотности.. Теорема 2: Для того, чтобы функция p = p(x) была плотностью распределения некоторой случайной величины , необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла свойствам 1) и 2) плотности.